20cm বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ABC ত্রিভুজ BC, CA এবং AB বাহু বরাবর যথাক্রমে ক্রিয়াশীল 7,5 ও 3 একক বলগুলির লব্ধির মান কত? এবং উহার কার্যরেখা BC বাহুকে কোথায় ছেদ করে?

আপনার দেওয়া image_820e21.png ফাইলে থাকা সমস্যাটির গাণিতিক ব্যাখ্যা নিচে ধাপে ধাপে দেওয়া হলো।

ধরি, B বিন্দু মূলবিন্দু (Origin) এবং BC বাহু বরাবর X-অক্ষ।

যেহেতু এটি সমবাহু ত্রিভুজ, তাই প্রতিটি অন্তস্থ কোণ 60°। বলগুলো যেহেতু একই ক্রমে ক্রিয়াশীল, তাই X-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে বলগুলোর উৎপন্ন কোণ হবে যথাক্রমে:

7 একক বলের কোণ: $0^\circ$ (BC বরাবর)
5 একক বলের কোণ: $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (CA বরাবর)
3 একক বলের কোণ: $180^\circ + 60^\circ = 240^\circ$ (AB বরাবর)

এবার X-অক্ষ ও Y-অক্ষ বরাবর বলগুলোর লম্বাংশ (Components) বের করি:

X-অক্ষ বরাবর লব্ধির উপাংশ ( $R_x$ ):

R_x = 7 \cos(0^\circ) + 5 \cos(120^\circ) + 3 \cos(240^\circ)

R_x = 7(1) + 5\left(-\frac{1}{2}\right) + 3\left(-\frac{1}{2}\right)

R_x = 7 - 2.5 - 1.5 = 3

Y-অক্ষ বরাবর লব্ধির উপাংশ ( $R_y$ ):

R_y = 7 \sin(0^\circ) + 5 \sin(120^\circ) + 3 \sin(240^\circ)

R_y = 7(0) + 5\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

R_y = \frac{5\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}

লব্ধির মান ( $R$ ):

R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}

R = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2}

R = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ একক}

লব্ধি বলটি BC বাহুকে কোথায় ছেদ করে তা বের করতে আমরা ভ্যারিগননের উপপাদ্য (Varignon's Theorem) ব্যবহার করব। উপপাদ্যটি হলো: কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর সাপেক্ষে একাধিক বলের মোমেন্টের (ভ্রামকের) সমষ্টি, ওই বিন্দুর সাপেক্ষে তাদের লব্ধির মোমেন্টের সমান।

আমরা B বিন্দুর সাপেক্ষে মোমেন্ট (Moment) হিসাব করব:

7 একক বল: এটি B বিন্দুগামী (BC রেখায়), তাই এর লম্ব দূরত্ব 0 এবং মোমেন্ট = $0$
3 একক বল: এটিও B বিন্দুগামী (AB রেখায়), তাই এর মোমেন্ট = $0$
5 একক বল: এটি CA রেখা বরাবর ক্রিয়াশীল। B বিন্দু থেকে CA রেখার লম্ব দূরত্ব হবে সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার সমান।

উচ্চতা = $a \sin(60^\circ) = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ cm}$

সুতরাং, 5 একক বলের মোমেন্ট = $5 \times 10\sqrt{3} = 50\sqrt{3}$

এখন, ধরি লব্ধি বলের কার্যরেখা B বিন্দু থেকে $x$ দূরত্বে BC রেখাকে ছেদ করে।

লব্ধির Y-উপাংশটি ( $R_y$ ) মূলত মোমেন্ট তৈরি করবে, যার মান: $R_y \times x = \sqrt{3} \times x$

শর্তমতে (লব্ধির মোমেন্ট = বলগুলোর মোমেন্টের সমষ্টি):

\sqrt{3} \times x = 0 + 0 + 50\sqrt{3}

\sqrt{3}x = 50\sqrt{3}

x = 50 \text{ cm}

সিদ্ধান্ত:

লব্ধির কার্যরেখাটি B বিন্দু থেকে 50cm দূরে অবস্থিত।

যেহেতু ত্রিভুজের BC বাহুর দৈর্ঘ্য মাত্র 20cm, এর মানে হলো ছেদবিন্দুটি C বিন্দু পার হয়ে আরও সামনের দিকে (বাইরের দিকে) অবস্থিত।

C বিন্দু থেকে দূরত্ব = $50\text{ cm} - 20\text{ cm} = 30\text{ cm}$ ।

অর্থাৎ, লব্ধির কার্যরেখা BC বাহুর বর্ধিতাংশকে বহিঃস্থভাবে 30cm দূরে ছেদ করে।

তাই সঠিক উত্তরটি হলো: $2\sqrt{3}$ একক এবং বহিঃস্থভাবে BC কে 30cm দূরে

Solution

Practice More Questions on Our App!

Related Topics