20cm বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ABC ত্রিভুজ BC, CA এবং AB বাহু বরাবর যথাক্রমে ক্রিয়াশীল 7,5 ও 3 একক বলগুলির লব্ধির মান কত? এবং উহার কার্যরেখা BC বাহুকে কোথায় ছেদ করে?
Solution
Correct Answer: Option D
আপনার দেওয়া image_820e21.png ফাইলে থাকা সমস্যাটির গাণিতিক ব্যাখ্যা নিচে ধাপে ধাপে দেওয়া হলো।
ধরি, B বিন্দু মূলবিন্দু (Origin) এবং BC বাহু বরাবর X-অক্ষ।
যেহেতু এটি সমবাহু ত্রিভুজ, তাই প্রতিটি অন্তস্থ কোণ 60°। বলগুলো যেহেতু একই ক্রমে ক্রিয়াশীল, তাই X-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে বলগুলোর উৎপন্ন কোণ হবে যথাক্রমে:
-
7 একক বলের কোণ: $0^\circ$ (BC বরাবর)
-
5 একক বলের কোণ: $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (CA বরাবর)
-
3 একক বলের কোণ: $180^\circ + 60^\circ = 240^\circ$ (AB বরাবর)
এবার X-অক্ষ ও Y-অক্ষ বরাবর বলগুলোর লম্বাংশ (Components) বের করি:
X-অক্ষ বরাবর লব্ধির উপাংশ ($R_x$):
$$R_x = 7 \cos(0^\circ) + 5 \cos(120^\circ) + 3 \cos(240^\circ)$$
$$R_x = 7(1) + 5\left(-\frac{1}{2}\right) + 3\left(-\frac{1}{2}\right)$$
$$R_x = 7 - 2.5 - 1.5 = 3$$
Y-অক্ষ বরাবর লব্ধির উপাংশ ($R_y$):
$$R_y = 7 \sin(0^\circ) + 5 \sin(120^\circ) + 3 \sin(240^\circ)$$
$$R_y = 7(0) + 5\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
$$R_y = \frac{5\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$
লব্ধির মান ($R$):
$$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$$
$$R = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2}$$
$$R = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ একক}$$
লব্ধি বলটি BC বাহুকে কোথায় ছেদ করে তা বের করতে আমরা ভ্যারিগননের উপপাদ্য (Varignon's Theorem) ব্যবহার করব। উপপাদ্যটি হলো: কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর সাপেক্ষে একাধিক বলের মোমেন্টের (ভ্রামকের) সমষ্টি, ওই বিন্দুর সাপেক্ষে তাদের লব্ধির মোমেন্টের সমান।
আমরা B বিন্দুর সাপেক্ষে মোমেন্ট (Moment) হিসাব করব:
-
7 একক বল: এটি B বিন্দুগামী (BC রেখায়), তাই এর লম্ব দূরত্ব 0 এবং মোমেন্ট = $0$
-
3 একক বল: এটিও B বিন্দুগামী (AB রেখায়), তাই এর মোমেন্ট = $0$
-
5 একক বল: এটি CA রেখা বরাবর ক্রিয়াশীল। B বিন্দু থেকে CA রেখার লম্ব দূরত্ব হবে সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার সমান।
উচ্চতা = $a \sin(60^\circ) = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ cm}$
সুতরাং, 5 একক বলের মোমেন্ট = $5 \times 10\sqrt{3} = 50\sqrt{3}$
এখন, ধরি লব্ধি বলের কার্যরেখা B বিন্দু থেকে $x$ দূরত্বে BC রেখাকে ছেদ করে।
লব্ধির Y-উপাংশটি ($R_y$) মূলত মোমেন্ট তৈরি করবে, যার মান: $R_y \times x = \sqrt{3} \times x$
শর্তমতে (লব্ধির মোমেন্ট = বলগুলোর মোমেন্টের সমষ্টি):
$$\sqrt{3} \times x = 0 + 0 + 50\sqrt{3}$$
$$\sqrt{3}x = 50\sqrt{3}$$
$$x = 50 \text{ cm}$$
সিদ্ধান্ত:
লব্ধির কার্যরেখাটি B বিন্দু থেকে 50cm দূরে অবস্থিত।
যেহেতু ত্রিভুজের BC বাহুর দৈর্ঘ্য মাত্র 20cm, এর মানে হলো ছেদবিন্দুটি C বিন্দু পার হয়ে আরও সামনের দিকে (বাইরের দিকে) অবস্থিত।
C বিন্দু থেকে দূরত্ব = $50\text{ cm} - 20\text{ cm} = 30\text{ cm}$।
অর্থাৎ, লব্ধির কার্যরেখা BC বাহুর বর্ধিতাংশকে বহিঃস্থভাবে 30cm দূরে ছেদ করে।
তাই সঠিক উত্তরটি হলো: $2\sqrt{3}$ একক এবং বহিঃস্থভাবে BC কে 30cm দূরে
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
Exam - 105
কোর্স নামঃ
ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি'র লং কোর্স (২৭৬ দিন)
টপিকসঃ
Bangla
বিভিন্ন সাহিত্যকর্মের পংক্তি ও উদ্ধৃতি।
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
বিভিন্ন সাহিত্যকর্মের পংক্তি ও উদ্ধৃতি।
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
এই রুটিনের সাথে ৩ বার ভোকাবুলারি রিভিশন।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৭৯
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
পরীক্ষা শুরুঃ (৫ম ব্যাচ) শুরু ৫ মে, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ০১
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন প্রস্তুতি - সমাজবিজ্ঞান
টপিকসঃ
সমাজবিজ্ঞানের পরিচিতি:
সংজ্ঞা, প্রকৃতি, পরিধি, গুরুত্ব, সমাজবিজ্ঞানের উৎপত্তি ও বিকাশ এবং অন্যান্য সামাজিক বিজ্ঞানের সাথে সমাজবিজ্ঞানের সম্পর্ক।
সংজ্ঞা, প্রকৃতি, পরিধি, গুরুত্ব, সমাজবিজ্ঞানের উৎপত্তি ও বিকাশ এবং অন্যান্য সামাজিক বিজ্ঞানের সাথে সমাজবিজ্ঞানের সম্পর্ক।
পরীক্ষা শুরুঃ ২৬ জুলাই, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions