OP রেখাংশকে ঘড়ির কাঁটার দিকে $ \frac{2 \pi}{3} $ কোণে ঘুরানোতে তার নতুন অবস্থান হলো $ OQ $ । $ P $ এর স্থানাঙ্ক $ ( - √3,- 3) $ হলে P ও Q এর মধ্যবর্তী দূরত্ব কত হবে?

ধরি, O হলো মূলবিন্দু $(0, 0)$ । প্রশ্নে P বিন্দুর স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে $(-\sqrt{3}, -3)$ ।

দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করে OP এর দৈর্ঘ্য বের করি:

OP = \sqrt{(-\sqrt{3} - 0)^2 + (-3 - 0)^2}

OP = \sqrt{3 + 9}

OP = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

যেহেতু OP রেখাংশকেই একটি নির্দিষ্ট কোণে ঘুরিয়ে OQ তৈরি করা হয়েছে, তাই রেখাংশের দৈর্ঘ্যের কোনো পরিবর্তন হবে না। অর্থাৎ, OP এবং OQ উভয়ের দৈর্ঘ্য সমান।

OQ = OP = \sqrt{12} \text{ বা } 2\sqrt{3}

এখন আমরা $\triangle OPQ$ নিয়ে কাজ করব, যেখানে:

ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর দৈর্ঘ্য বের করতে আমরা কোসাইন সূত্র ব্যবহার করতে পারি:

PQ^2 = OP^2 + OQ^2 - 2 \cdot OP \cdot OQ \cdot \cos(\angle POQ)

মানগুলো বসিয়ে পাই:

PQ^2 = (\sqrt{12})^2 + (\sqrt{12})^2 - 2(\sqrt{12})(\sqrt{12}) \cdot \cos(120^\circ)

আমরা জানি, $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$

PQ^2 = 12 + 12 - 2(12)\left(-\frac{1}{2}\right)

PQ^2 = 24 + 12

PQ^2 = 36

অতএব,

PQ = \sqrt{36} = 6

P ও Q এর মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে 6 একক।