What are the elementary symmetric polynomials in roots r1,…,rn?
Solution
Correct Answer: Option A
Correct answer: Option 1.
Explanation:
The elementary symmetric polynomials in the roots \(r_1,\dots,r_n\) are defined for \(k=1,\dots,n\) by
\[
e_k(r_1,\dots,r_n)=\sum_{1\le i_1<\cdots\]
Thus
\[
e_1=\sum_{i=1}^n r_i,\qquad
e_2=\sum_{1\le i\ldots,\qquad
e_n=r_1r_2\cdots r_n.
\]
Examples: for \(n=3\),
\[
e_1=r_1+r_2+r_3,\quad
e_2=r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3,\quad
e_3=r_1r_2r_3.
\]
Why this is the standard choice: if \(p(x)\) is the monic polynomial with roots \(r_i\),
\[
p(x)=\prod_{i=1}^n (x-r_i)=x^n-e_1x^{\,n-1}+e_2x^{\,n-2}-\cdots+(-1)^n e_n,
\]
so the coefficients of \(p\) are exactly the elementary symmetric polynomials (Vieta’s formulas).
Why the other options are incorrect:
- Option 2 mixes products and sums incorrectly (it places \(\prod r_i\) as \(e_1\) and uses power sums for later \(e_k\)); that does not match the definition above.
- Option 3 gives power sums \(p_k=\sum_i r_i^k\), which are symmetric but are not the elementary symmetric polynomials.
- Option 4 only describes the \(n=2\) case and does not generalize; elementary symmetric polynomials are defined for every \(n\) as in Option 1.
Thus Option 1 is the correct description.
Explanation:
The elementary symmetric polynomials in the roots \(r_1,\dots,r_n\) are defined for \(k=1,\dots,n\) by
\[
e_k(r_1,\dots,r_n)=\sum_{1\le i_1<\cdots
Thus
\[
e_1=\sum_{i=1}^n r_i,\qquad
e_2=\sum_{1\le i
e_n=r_1r_2\cdots r_n.
\]
Examples: for \(n=3\),
\[
e_1=r_1+r_2+r_3,\quad
e_2=r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3,\quad
e_3=r_1r_2r_3.
\]
Why this is the standard choice: if \(p(x)\) is the monic polynomial with roots \(r_i\),
\[
p(x)=\prod_{i=1}^n (x-r_i)=x^n-e_1x^{\,n-1}+e_2x^{\,n-2}-\cdots+(-1)^n e_n,
\]
so the coefficients of \(p\) are exactly the elementary symmetric polynomials (Vieta’s formulas).
Why the other options are incorrect:
- Option 2 mixes products and sums incorrectly (it places \(\prod r_i\) as \(e_1\) and uses power sums for later \(e_k\)); that does not match the definition above.
- Option 3 gives power sums \(p_k=\sum_i r_i^k\), which are symmetric but are not the elementary symmetric polynomials.
- Option 4 only describes the \(n=2\) case and does not generalize; elementary symmetric polynomials are defined for every \(n\) as in Option 1.
Thus Option 1 is the correct description.
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ৭৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-৫৪
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions