In the figure above, O is the center of the circle and arc SRT has length 2π. If the circumference of the circle is 12π, what is the value of x + y=?

• বৃত্তের মোট পরিধি দেওয়া আছে = $12\pi$

• আমরা জানি, একটি সম্পূর্ণ বৃত্তের কেন্দ্রে মোট কোণ উৎপন্ন হয় $360^\circ$।

• চিত্রে $SRT$ চাপের (Arc) দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে = $2\pi$

• চাপের দৈর্ঘ্য ও পরিধির অনুপাত থেকে আমরা কেন্দ্রের কোণটি বের করতে পারি:

  $$\frac{\angle SOT}{360^\circ} = \frac{\text{চাপের দৈর্ঘ্য}}{\text{মোট পরিধি}}$$
  $$\frac{\angle SOT}{360^\circ} = \frac{2\pi}{12\pi} = \frac{1}{6}$$
  $$\angle SOT = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$$

• চিত্রে $O, S, P$ এবং $O, T, Q$ যথাক্রমে সোজা লাইনে অবস্থিত। এর ফলে উৎপন্ন বড় ত্রিভুজ $\triangle OPQ$-এর শীর্ষকোণ ($\angle POQ$) এবং বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ($\angle SOT$) আসলে একই, যার মান $60^\circ$।

• আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের ভেতরের তিনটি কোণের মোট যোগফল সবসময় $180^\circ$ হয়।

• সুতরাং, $\triangle OPQ$-এর ক্ষেত্রে:

  $$\angle POQ + \angle OPQ + \angle OQP = 180^\circ$$

• চিত্রে $\angle OPQ = x^\circ$ এবং $\angle OQP = y^\circ$ দেওয়া আছে। মানগুলো বসিয়ে পাই:

  $$60^\circ + x^\circ + y^\circ = 180^\circ$$
  $$x + y = 180 - 60 = 120$$

অতএব, $x + y$-এর সঠিক মান হলো 120°।