In the figure, DE is parallel to BC. If the area of a triangle ADE is half that of trapezoid DEСВ. What is the ratio of AE to AC?

• ধরি, ছোট ত্রিভুজ $\triangle ADE$-এর ক্ষেত্রফল = $A$

• প্রশ্নে দেওয়া শর্ত অনুযায়ী, $\triangle ADE$-এর ক্ষেত্রফল ট্রাপিজিয়াম $DECB$-এর ক্ষেত্রফলের অর্ধেক। তার মানে ট্রাপিজিয়াম $DECB$-এর ক্ষেত্রফল হলো ছোট ত্রিভুজটির দ্বিগুণ = $2A$।

• সুতরাং, সম্পূর্ণ বড় ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এর মোট ক্ষেত্রফল দাঁড়াবে:

  $$\text{ক্ষেত্রফল } (\triangle ABC) = \text{ক্ষেত্রফল } (\triangle ADE) + \text{ক্ষেত্রফল } (\text{ট্রাপিজিয়াম } DECB)$$
  $$\text{ক্ষেত্রফল } (\triangle ABC) = A + 2A = 3A$$

• যেহেতু $DE \parallel BC$ ($DE$ এবং $BC$ সমান্তরাল), তাই ছোট ত্রিভুজ $\triangle ADE$ এবং বড় ত্রিভুজ $\triangle ABC$ পরস্পর সদৃশ (Similar)।

• আমরা জানি, দুটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত তাদের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গের (Square) অনুপাতের সমান হয়।

• সূত্রানুযায়ী:

  $$\frac{\text{ক্ষেত্রফল } (\triangle ADE)}{\text{ক্ষেত্রফল } (\triangle ABC)} = \left(\frac{AE}{AC}\right)^2$$
  $$\frac{A}{3A} = \left(\frac{AE}{AC}\right)^2$$
  $$\frac{1}{3} = \left(\frac{AE}{AC}\right)^2$$

• এবার সমীকরণের উভয় পক্ষকে বর্গমূল (Square root) করে পাই:

  $$\frac{AE}{AC} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

• অতএব, $AE : AC = 1 : \sqrt{3}$

সুতরাং, $AE$ এবং $AC$ বাহুর সঠিক অনুপাত হলো $1 : \sqrt{3}$ ।