If the circle with center O has an area of 9 \( \pi \) , What is the area of equilateral triangle AВС?

• প্রশ্নে বৃত্তের ক্ষেত্রফল দেওয়া আছে = $9\pi$

• আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$

• শর্তমতে:

  $$\pi r^2 = 9\pi$$
  $$r^2 = 9 \implies r = 3 \text{ ইউনিট}$$

• চিত্রটি ভালো করে লক্ষ্য করলে দেখা যাবে, বৃত্তটি $A$ বিন্দু দিয়ে গেছে এবং নিচে $BC$ বাহুকে $D$ বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।

• যেহেতু $AD$ রেখাটি বৃত্তের কেন্দ্র $O$ দিয়ে সরাসরি অতিক্রম করেছে, তাই $AD$ হলো এই বৃত্তের একটি ব্যাস (Diameter)।

• একই সাথে এটি সমবাহু ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এর উচ্চতা (Altitude বা $h$)।

• সুতরাং, ত্রিভুজের উচ্চতা ($h$) = বৃত্তের ব্যাস = $2r$

  $$h = 2 \times 3 = 6 \text{ ইউনিট}$$

• সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা ($h$) দেওয়া থাকলে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সরাসরি সূত্রটি হলো:

  $$\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{h^2}{\sqrt{3}}$$

• এখন উচ্চতা $h = 6$ বসিয়ে পাই:

  $$\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{6^2}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}}$$

• হর থেকে রুট ($\sqrt{3}$) সরানোর জন্য লব ও হরকে $\sqrt{3}$ দ্বারা গুণ করি:

  $$\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{36 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}$$

সুতরাং, সমবাহু ত্রিভুজ $ABC$-এর সঠিক ক্ষেত্রফল হলো $12\sqrt{3}$।