বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে চিহ্নিত অংশের ক্ষেত্রফল কত?

চিত্রটি থেকে স্পষ্টভাবে বোঝা যাচ্ছে যে, এখানে সমান ব্যাসার্ধের ($r$) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করেছে এবং চিত্রটির জ্যামিতিক সামঞ্জস্য অনুযায়ী প্রতিটি বৃত্ত অপর বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করেছে।

• ধরি, বামপাশের বৃত্তের কেন্দ্র $O_1$ এবং ডানপাশের বৃত্তের কেন্দ্র $O_2$।

• বৃত্ত দুটির ছেদবিন্দু দুটি হলো $A$ (উপরের দিকে) এবং $B$ (নিচের দিকে)।

• যেহেতু বৃত্ত দুটি একে অপরের কেন্দ্র দিয়ে যায়, তাই তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী সরলরৈখিক দূরত্ব হবে ব্যাসার্ধের সমান। অর্থাৎ, $O_1O_2 = r$।

• এখন যদি আমরা $O_1$ কেন্দ্র থেকে ছেদবিন্দু $A$ এবং $O_2$ যোগ করি, তবে একটি ত্রিভুজ $\Delta O_1AO_2$ গঠিত হবে।

• এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রে:

  • $O_1A = r$ (বাম বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

  • $O_2A = r$ (ডান বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

  • $O_1O_2 = r$ (কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব)

• যেহেতু $\Delta O_1AO_2$ এর তিনটি বাহুই সমান, তাই এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral Triangle)। সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ $60^\circ$ হয়।

  • সুতরাং, $\angle AO_1O_2 = 60^\circ$।

• একইভাবে, নিচের অংশে গঠিত $\Delta O_1BO_2$ ত্রিভুজটিও একটি সমবাহু ত্রিভুজ, তাই $\angle BO_1O_2 = 60^\circ$।

• অতএব, সম্পূর্ণ চিহ্নিত বৃত্তকলাটি তার কেন্দ্রে যে মোট কোণ ($\theta$) তৈরি করেছে তা হলো:

  $$ \theta = \angle AO_1O_2 + \angle BO_1O_2 $$

  $$ \theta = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ $$

আমরা জানি, $r$ ব্যাসার্ধ এবং কেন্দ্রে $\theta$ কোণ উৎপন্নকারী কোনো বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো:

$$ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 $$

এখন এই সূত্রে আমাদের প্রাপ্ত মান $\theta = 120^\circ$ বসিয়ে পাই:

$$ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 $$

$$ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{3} \times \pi r^2 $$

$$ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{\pi}{3} r^2 $$

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যাচ্ছে চিহ্নিত অংশের ক্ষেত্রফল $\frac{\pi}{3} r^2$।