৪৫তম বিসিএস, প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ, সরকারি চাকরি, ব্যাংক প্রস্তুতি

BSMRSTU exam questions (427 টি প্রশ্ন )

Q1. $ x^{2}+y^{2}-3 x-4 y+5=0 $ এবং $ 3 x^{2}+3 y^{2}-6 x-9 y-3=0 $ দুটি বৃত্তের সমীকরণ।বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ—

ক) $ x - y - 6 = 0 $

খ) $ x + y + 6 = 0 $

গ) $ x + y - 6 = 0 $

ঘ) $ x - y + 6 = 0 $

Q2. If f(x)=(x-2)(1-x), then what's the value of f(f(3))?

ক) 1/2

খ) 9

গ) 12

ঘ) -12

Q3.

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে চিহ্নিত অংশের ক্ষেত্রফল কত?

ক) πr²/2

খ) πr²/4

গ) $ \frac{\pi}{3} $ $ r^2 $

ঘ) None

ব্যাখ্যা (Explanation):

চিত্রটি থেকে স্পষ্টভাবে বোঝা যাচ্ছে যে, এখানে সমান ব্যাসার্ধের ( $r$ ) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করেছে এবং চিত্রটির জ্যামিতিক সামঞ্জস্য অনুযায়ী প্রতিটি বৃত্ত অপর বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করেছে।

ধরি, বামপাশের বৃত্তের কেন্দ্র $O_1$ এবং ডানপাশের বৃত্তের কেন্দ্র $O_2$ ।
বৃত্ত দুটির ছেদবিন্দু দুটি হলো $A$ (উপরের দিকে) এবং $B$ (নিচের দিকে)।
যেহেতু বৃত্ত দুটি একে অপরের কেন্দ্র দিয়ে যায়, তাই তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী সরলরৈখিক দূরত্ব হবে ব্যাসার্ধের সমান। অর্থাৎ, $O_1O_2 = r$ ।

এখন যদি আমরা $O_1$ কেন্দ্র থেকে ছেদবিন্দু $A$ এবং $O_2$ যোগ করি, তবে একটি ত্রিভুজ $\Delta O_1AO_2$ গঠিত হবে।
এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রে:
- $O_1A = r$ (বাম বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
- $O_2A = r$ (ডান বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
- $O_1O_2 = r$ (কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব)
যেহেতু $\Delta O_1AO_2$ এর তিনটি বাহুই সমান, তাই এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral Triangle)। সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ $60^\circ$ হয়।
- সুতরাং, $\angle AO_1O_2 = 60^\circ$ ।
একইভাবে, নিচের অংশে গঠিত $\Delta O_1BO_2$ ত্রিভুজটিও একটি সমবাহু ত্রিভুজ, তাই $\angle BO_1O_2 = 60^\circ$ ।
অতএব, সম্পূর্ণ চিহ্নিত বৃত্তকলাটি তার কেন্দ্রে যে মোট কোণ ( $\theta$ ) তৈরি করেছে তা হলো:

$$ \theta = \angle AO_1O_2 + \angle BO_1O_2 $$

$$ \theta = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ $$