x এর কোন মানের জন্য f(x)=sin³x cosx 0<x<π এর মান ক্ষুদ্রতম হবে? (For which value of x, f(x)=sin³x cosx 0<x<π has the minimum value?)

দেওয়া আছে,
f(x) = sin³x cosx
ক্ষুদ্রতম বা বৃহত্তম মানের জন্য, প্রথম ডেরিভেটিভ f'(x) = 0 হতে হবে।
f'(x) = d/dx(sin³x cosx)
= 3sin²x cosx cosx + sin³x (-sinx)
= 3sin²x cos²x - sin⁴x
f'(x) = 0 হলে,
sin²x(3cos²x - sin²x) = 0
যেহেতু 0 < x < π, তাই sinx ≠ 0।
সুতরাং, 3cos²x - sin²x = 0
বা, tan²x = 3
বা, tanx = ±√3
x = π/3 অথবা x = 2π/3

এখন f''(x) নির্ণয় করি:
f''(x) = d/dx(3sin²x cos²x - sin⁴x) = d/dx((3/4)sin²2x - sin⁴x)
= (3/2)sin2x(2cos2x) - 4sin³x cosx
x = π/3 এর জন্য f''(x) ঋণাত্মক হবে (f(x) সর্বোচ্চ)।
x = 2π/3 এর জন্য f''(x) ধনাত্মক হবে (f(x) সর্বনিম্ন)।
সুতরাং, সর্বনিম্ন মানের জন্য x = 2π/3