y = 2x - x² এবং x- অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত? (What is the area of the region bounded by y = 2x - x²  and x-axis?)

দেওয়া আছে, বক্ররেখার সমীকরণ: y = 2x - x²
x-অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ হলে, y = 0 হবে।
∴ 2x - x² = 0
বা, x(2 - x) = 0
সুতরাং, x = 0 অথবা, x = 2
নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = ∫₀² y dx
= ∫₀² (2x - x²) dx
= [x² - x³/3]₀²
= (2² - 2³/3) - (0)
= 4 - 8/3
= (12 - 8)/3
= 4/3 বর্গ একক।

শর্টকাট নিয়ম:
y = ax² + bx + c পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল = (|a|/6) × (β - α)³ (যেখানে α, β হলো মূলদ্বয়)।
এখানে সমীকরণ থেকে মূলদ্বয় 0 ও 2 এবং a = -1।
∴ ক্ষেত্রফল = (|-1|/6) × (2 - 0)³ = 8/6 = 4/3 square units.