y² = 4x পরাবৃত্তে এবং y = x সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

বিস্তৃত ব্যাখ্যা:
দেওয়া আছে, পরাবৃত্ত y² = 4x এবং সরলরেখা y = x.
ছেদবিন্দু নির্ণয়ের জন্য y-এর মান পরাবৃত্তের সমীকরণে বসাই:
(x)² = 4x
বা, x² - 4x = 0
বা, x(x - 4) = 0
তাহলে, x = 0 অথবা x = 4.
x = 0 হলে y = 0 এবং x = 4 হলে y = 4.
ছেদবিন্দু: (0, 0) এবং (4, 4).

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = ∫₀⁴ ( √(4x) - x ) dx
= ∫₀⁴ ( 2x^1/2 - x ) dx
= [ 2 * (x^3/2 / (3/2)) - x²/2 ]₀⁴
= [ (4/3) x^3/2 - x²/2 ]₀⁴
= (4/3) * (4)^3/2 - 4²/2
= (4/3) * 8 - 16/2
= 32/3 - 8
= (32 - 24) / 3
= 8/3

শর্টকাট নিয়ম:
y² = 4ax এবং y = mx দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 8a² / 3m³
এখানে, 4a = 4 ⇒ a = 1
এবং m = 1
ক্ষেত্রফল = 8(1)² / (3 * 1³) = 8/3 (সঠিক উত্তর অপশনগুলোতে 8/3 বা 83 ভগ্নাংশ আকারে টাইপো থাকতে পারে, সঠিক 8/3).