কোন ব্যবধিতে $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ ক্রমবর্ধমান?

দেওয়া আছে, f(x) = x / (x² + 1)
কোনো ফাংশন ক্রমবর্ধমান (strictly increasing) হওয়ার শর্ত হলো, এর প্রথম অন্তরক (First derivative) f'(x) > 0 হতে হবে।
এখন ফাংশনটিকে x-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করি:
f'(x) = d/dx [x / (x² + 1)]
= [(x² + 1)·1 - x·(2x)] / (x² + 1)²
= (x² + 1 - 2x²) / (x² + 1)²
= (1 - x²) / (x² + 1)²
শর্তমতে, f'(x) > 0
বা, (1 - x²) / (x² + 1)² > 0
যেহেতু (x² + 1)² সর্বদা ধনাত্মক, তাই (1 - x²) > 0 হতে হবে।
বা, x² < 1
বা, -1 < x < 1
অতএব, ফাংশনটি (-1, 1) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।