কোন ফাংশনটির জন্য $(1 - x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = 2$ সত্য?

সঠিক উত্তরটি যাচাই করার জন্য আমরা অপশন 2 বিবেচনা করি: $y = (\cos^{-1}x)^2$
উভয়পাশে x-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$y_1 = 2\cos^{-1}x \cdot \left(\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}\right)$
$\Rightarrow \sqrt{1 - x^2} y_1 = -2\cos^{-1}x$
উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
$(1 - x^2)y_1^2 = 4(\cos^{-1}x)^2$
যেহেতু $y = (\cos^{-1}x)^2$, তাই সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$(1 - x^2)y_1^2 = 4y$
আবার x-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$(1 - x^2) \cdot 2y_1y_2 + y_1^2(-2x) = 4y_1$
উভয়পক্ষকে $2y_1$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$(1 - x^2)y_2 - xy_1 = 2$
অর্থাৎ, $(1 - x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = 2$
সুতরাং, $y = (\cos^{-1}x)^2$ ফাংশনটির জন্যই প্রদত্ত সমীকরণটি সত্য।