$\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ এবং  $\vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$  হলে, নিম্নের কোনটি সত্য?

দেওয়া আছে,
\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}
\vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}

প্রথমে ভেক্টর দুটির মান (Magnitude) বা মডুলাস বের করি:
|\vec{a}|² = (1)² + (2)² + (-3)² = 1 + 4 + 9 = 14
|\vec{b}|² = (3)² + (-1)² + (2)² = 9 + 1 + 4 = 14

আমরা জানি, দুটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফলের ডট গুণন হলো:
(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|² - |\vec{b}|²

যেহেতু, |\vec{a}|² এবং |\vec{b}|² উভয়ের মান 14, তাই:
(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 14 - 14 = 0

বিকল্পভাবে, (\vec{a} + \vec{b}) = 4\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} এবং (\vec{a} - \vec{b}) = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}
ডট গুণন: (4)(-2) + (1)(3) + (-1)(-5) = -8 + 3 + 5 = 0
সুতরাং, (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0 সত্য।