$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\sqrt{2}$ হলে $\frac{m^{2}}{n^{2}}+\frac{n^{2}}{m^{2}}$ এর মান কত?

দেওয়া আছে, \[\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\sqrt{2}\]
আমাদের মান বের করতে হবে: \[\frac{m^{2}}{n^{2}}+\frac{n^{2}}{m^{2}}\]
সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমরা বীজগণিতের বর্গের অনুসিদ্ধান্ত সূত্রটি ব্যবহার করব।
আমরা জানি, \[a^{2}+b^{2} = (a+b)^{2}-2ab\]
এখানে \(a = \frac{m}{n}\) এবং \(b = \frac{n}{m}\) ধরে মানগুলো বসিয়ে পাই:
\[\frac{m^{2}}{n^{2}}+\frac{n^{2}}{m^{2}} = \left(\frac{m}{n}+\frac{n}{m}\right)^{2}-2 \cdot \frac{m}{n} \cdot \frac{n}{m}\]
লক্ষণীয় যে, গুণ করার সময় লব ও হর থেকে \(m\) এবং \(n\) কাটাকাটি হয়ে যায়। ফলে \(\frac{m}{n} \cdot \frac{n}{m} = 1\) হয়।
তাই সমীকরণটি দাঁড়ায়:
\[\frac{m^{2}}{n^{2}}+\frac{n^{2}}{m^{2}} = \left(\frac{m}{n}+\frac{n}{m}\right)^{2}-2\]
এখন দেওয়া আছে অংশ থেকে \(\frac{m}{n}+\frac{n}{m} = \sqrt{2}\) মানটি এখানে বসিয়ে পাই:
\[\frac{m^{2}}{n^{2}}+\frac{n^{2}}{m^{2}} = (\sqrt{2})^{2}-2\]
যেহেতু যেকোনো বর্গমূল সংখ্যার বর্গ করলে বর্গমূল চিহ্ন উঠে যায়, তাই \((\sqrt{2})^{2} = 2\) হবে।
সুতরাং:
\[\frac{m^{2}}{n^{2}}+\frac{n^{2}}{m^{2}} = 2-2\]
\[\frac{m^{2}}{n^{2}}+\frac{n^{2}}{m^{2}} = 0\]
অতএব, নির্ণেয় মান হলো \(0\)।
- সঠিক উত্তর: অপশন ৩: \(0\)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত