$(\sqrt[12]{5})^{5x-2}=(\sqrt[3]{5})^{2x+1}$ সমীকরণের সমাধান কোনটি?

দেওয়া আছে, সূচকীয় সমীকরণটি হলো: \[(\sqrt {5})^{5x-2}=(\sqrt {5})^{2x+1}\]
সূচকের নিয়মাবলী অনুযায়ী আমরা জানি, \(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\) ।
সুতরাং, \(\sqrt {5} = 5^{\frac{1}{12}}\) এবং \(\sqrt {5} = 5^{\frac{1}{3}}\) ।
এখন, মূল সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে পাই:
\[(5^{\frac{1}{12}})^{5x-2} = (5^{\frac{1}{3}})^{2x+1}\]
পাওয়ারের ওপর পাওয়ার গুণ করার নিয়ম \((a^m)^n = a^{mn}\) প্রয়োগ করে পাই :
\[5^{\frac{5x-2}{12}} = 5^{\frac{2x+1}{3}}\]
উভয় পক্ষের ভিত্তি (Base) \(5\) একই হওয়ায়, ভিত্তি বাতিল বিধি (\(a^x = a^y\) হলে \(x = y\)) প্রয়োগ করে শক্তি বা পাওয়ার দুটিকে সমান লেখা যায় :
\[\frac{5x-2}{12} = \frac{2x+1}{3}\]
এখন, উভয় পক্ষকে \(12\) দ্বারা গুণ করে পাই:
\[5x - 2 = 4(2x + 1)\]
\[\Rightarrow 5x - 2 = 8x + 4\]
পক্ষান্তর বিধি অনুযায়ী \(x\)-যুক্ত পদগুলোকে বামপাশে এবং সংখ্যাগুলোকে ডানপাশে নিয়ে পাই:
\[\Rightarrow 5x - 8x = 4 + 2\]
\[\Rightarrow -3x = 6\]
\[\Rightarrow x = \frac{6}{-3}\]
\[\Rightarrow x = -2\]
অতএব, নির্ণেয় সমাধান \(x = -2\)।
- সঠিক উত্তর: অপশন 1: -2
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত