$2x - \frac{2}{x}= 3$ হলে $8 (x^{3}-\frac{1}{x^{3}})=$ কত?

দেওয়া আছে, \[2x - \frac{2}{x} = 3\]
সমীকরণের উভয় পাশ থেকে \(2\) কমন নিয়ে পাই: \[2\left(x - \frac{1}{x}\right) = 3\]
পক্ষান্তর বিধি অনুযায়ী: \[x - \frac{1}{x} = \frac{3}{2}\]
এখন, প্রদত্ত রাশি হলো: \[8\left(x^3 - \frac{1}{x^3}\right)\]
আমরা জানি, ঘন-এর অনুসিদ্ধান্ত অনুযায়ী: \[a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)\]
তাহলে, \(x^3 - \frac{1}{x^3}\) রাশিটির মান নির্ণয়ের জন্য বিস্তৃতি করে পাই: \[x^3 - \frac{1}{x^3} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x - \frac{1}{x}\right)\]
এখন \(x - \frac{1}{x} = \frac{3}{2}\) মান বসিয়ে পাই: \[x^3 - \frac{1}{x^3} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 + 3\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{27}{8} + \frac{9}{2}\]
লসাগু করে যোগ করলে পাই: \[x^3 - \frac{1}{x^3} = \frac{27 + 36}{8} = \frac{63}{8}\]
অতএব, \(8\left(x^3 - \frac{1}{x^3}\right)\) এর মান হবে: \[8 \times \frac{63}{8} = 63\]
- বিকল্প সমাধান (ঘন করে):
দেওয়া সমীকরণের উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই: \[\left(2x - \frac{2}{x}\right)^3 = 3^3\]
ঘন-এর সূত্র \((a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)\) ব্যবহার করে পাই: \[(2x)^3 - \left(\frac{2}{x}\right)^3 - 3 \cdot 2x \cdot \frac{2}{x}\left(2x - \frac{2}{x}\right) = 27\]
বা, \[8x^3 - \frac{8}{x^3} - 3 \cdot 4 \cdot 3 = 27\]
বা, \[8x^3 - \frac{8}{x^3} - 36 = 27\]
বা, \[8x^3 - \frac{8}{x^3} = 27 + 36 = 63\]
বা, \[8\left(x^3 - \frac{1}{x^3}\right) = 63\]
- সঠিক উত্তর: অপশন ৩: 63

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত