১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১, .... ধারাটির দশম পদ কত?

প্রদত্ত ধারাটি হলো: ১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১, ....
ধারাটির পদগুলোর মধ্যকার সম্পর্ক লক্ষ করি:
- ১ম পদ = \(1\)
- ২য় পদ = \(3\) (১ম পদের সাথে \(2\) যোগ করা হয়েছে, অর্থাৎ \(1 + 2 = 3\))
- ৩য় পদ = \(6\) (২য় পদের সাথে \(3\) যোগ করা হয়েছে, অর্থাৎ \(3 + 3 = 6\))
- ৪র্থ পদ = \(10\) (৩য় পদের সাথে \(4\) যোগ করা হয়েছে, অর্থাৎ \(6 + 4 = 10\))
- ৫ম পদ = \(15\) (৪র্থ পদের সাথে \(5\) যোগ করা হয়েছে, অর্থাৎ \(10 + 5 = 15\))
- sixth পদ = \(21\) (৫ম পদের সাথে \(6\) যোগ করা হয়েছে, অর্থাৎ \(15 + 6 = 21\))

এখানে দেখা যাচ্ছে যে, প্রতিটি পদের সাথে তার অবস্থানের ক্রমিক সংখ্যা যোগ করে পরবর্তী পদটি পাওয়া যাচ্ছে। অর্থাৎ, পাশাপাশি দুটি পদের পার্থক্য যথাক্রমে ২, ৩, ৪, ৫, ৬ এভাবে ১ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে।

একই নিয়ম অনুসরণ করে পরবর্তী পদগুলো হবে:
- ৭ম পদ = ৬ষ্ঠ পদ + \(7\) = \(21 + 7 = 28\)
- ৮ম পদ = ৭ম পদ + \(8\) = \(28 + 8 = 36\)
- ৯ম পদ = ৮ম পদ + \(9\) = \(36 + 9 = 45\)
- ১০ম পদ = ৯ম পদ + \(10\) = \(45 + 10 = 55\)

বিকল্প পদ্ধতি (সমষ্টির সূত্রের সাহায্যে):
এই ধারার প্রতিটি পদ হলো প্রথম থেকে সেই পদের অবস্থান পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি।
যেমন:
- ১ম পদ = \(1\)
- ২য় পদ = \(1 + 2 = 3\)
- ৩য় পদ = \(1 + 2 + 3 = 6\)
- ১০ম পদটি হবে প্রথম ১০টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি।
আমরা জানি, প্রথম \(n\) সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির সূত্র: \(S_n = \frac{n(n + 1)}{2}\)
এখানে \(n = 10\) বসিয়ে পাই:
১০ম পদ = \(\frac{10 \times (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 5 \times 11 = 55\)

সুতরাং, ধারাটির ১০ম পদ হলো ৫৫।

সোর্সঃ খাইরুল মানসিক দক্ষতা