ABCD বৃত্তে AB এবং CD দুটি সমান জ্যা পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করলে নীচের কোনটি সত্য?

একটি বৃত্তের দুটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে, একটি জ্যা-এর অংশগুলো অপর জ্যা-এর অনুরূপ অংশগুলোর সমান হয়।
চলুন এটি সহজে এবং ধাপে ধাপে বুঝে নেওয়া যাক:

- মনে করি, একটি বৃত্তের কেন্দ্র \( O \) এবং বৃত্তের দুটি সমান জ্যা হলো \( AB \) এবং \( CD \)।
- জ্যা দুটি পরস্পরকে \( P \) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
- এখন বৃত্তের কেন্দ্র \( O \) থেকে \( AB \) এবং \( CD \) জ্যা দুটির উপর যথাক্রমে \( OM \) এবং \( ON \) লম্ব আঁকি।

লম্ব আঁকার ফলে আমরা দুটি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য পাই:
- কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমান দুই ভাগে ভাগ করে (সমদ্বিখণ্ডিত করে)।
অতএব, \( AM = MB = \frac{1}{2} AB \) এবং \( CN = ND = \frac{1}{2} CD \)।
যেহেতু জ্যা দুটি সমান (\( AB = CD \)), সেহেতু তাদের অর্ধেক অংশগুলোও সমান হবে। অর্থাৎ, \( MB = ND \) এবং \( AM = CN \)।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমান দূরে থাকে।
যেহেতু জ্যা দুটি সমান, তাই কেন্দ্র থেকে লম্ব দূরত্বও সমান হবে। অর্থাৎ, \( OM = ON \)।

এখন, \( \Delta OPM \) এবং \( \Delta OPN \) সমকোণী ত্রিভুজ দুটির মধ্যে তুলনা করি:
- অতিভুজ \( OP \) উভয়ের সাধারণ বাহু।
- লম্ব দূরত্ব \( OM = ON \)।
- সুতরাং, ত্রিভুজ দুটি সর্বসম। অর্থাৎ, \( \Delta OPM \cong \Delta OPN \)।
ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হওয়ায় এদের অন্য বাহু দুটিও সমান হবে। অর্থাৎ, \( PM = PN \)।

এবার জ্যা-এর ছেদ অংশগুলো খেয়াল করি:
- জ্যা \( AB \)-এর ছোট অংশটি হলো \( PB \)। চিত্রানুযায়ী, \( PB = MB - PM \)।
- জ্যা \( CD \)-এর ছোট অংশটি হলো \( PD \)। চিত্রানুযায়ী, \( PD = ND - PN \)।
যেহেতু আমরা আগেই পেয়েছি \( MB = ND \) এবং \( PM = PN \), তাই স্বভাবতই:
\( MB - PM = ND - PN \)
অর্থাৎ, \( PB = PD \)।

একইভাবে বড় অংশ দুটির ক্ষেত্রেও বলা যায়, \( PA = PC \)। কিন্তু আমাদের অপশনে প্রদত্ত সম্পর্কগুলোর মধ্যে সঠিক এবং যৌক্তিক সম্পর্কটি হলো \( PB = PD \) (অপশন ৩)।

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত