Which of the following is the smallest given that x > y > 1?
Solution
Correct Answer: Option B
দেওয়া আছে, $x > y > 1$। অর্থাৎ $x$ এবং $y$ উভয়ই ১-এর চেয়ে বড় এবং ধনাত্মক সংখ্যা।
আমাদের বের করতে হবে নিচের কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে ছোট।
লক্ষ্য করুন, অপশনগুলোতে বেশ কয়েকটি ভগ্নাংশ আছে যা $\frac{x}{y}$ এর সাথে সম্পর্কিত।
যেহেতু $x > y$, তাই $\frac{x}{y}$ একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ (Improper Fraction), যার মান ১-এর চেয়ে বড়।
আমরা জানি, কোনো প্রকৃত বা অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের সাথে একই ধনাত্মক সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মানের পরিবর্তন হয়।
নিয়মটি হলো: যদি একটি ভগ্নাংশ $\frac{a}{b} > 1$ হয়, তবে লব ও হরের সাথে কোনো ধনাত্মক সংখ্যা $k$ যোগ করলে নতুন ভগ্নাংশটির মান আগের চেয়ে ছোট হবে।
অর্থাৎ, $\frac{a+k}{b+k} < \frac{a}{b}$।
এই নিয়ম অনুযায়ী অপশনগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:
১. তুলনা করি $\frac{x}{y}$ এবং $\frac{x+1}{y+1}$ এর মধ্যে:
যেহেতু $\frac{x}{y} > 1$, তাই লব ও হরের সাথে ১ যোগ করলে মান কমে যাবে।
সুতরাং, $\frac{x+1}{y+1} < \frac{x}{y}$।
২. তুলনা করি $\frac{x+1}{y+1}$ এবং $\frac{x+2}{y+2}$ এর মধ্যে:
একইভাবে, $\frac{x+1}{y+1}$ এর লব ও হরের সাথে আরও ১ যোগ করলে পাওয়া যায় $\frac{x+2}{y+2}$।
যেহেতু ভগ্নাংশটি ১-এর চেয়ে বড়, তাই যোগ করার ফলে মান আরও কমবে।
সুতরাং, $\frac{x+2}{y+2} < \frac{x+1}{y+1}$।
৩. অন্যান্য অপশন যাচাই:
অপশন (4): $\frac{x+1}{y} = \frac{x}{y} + \frac{1}{y}$। এটি $\frac{x}{y}$ এর চেয়েও বড়। তাই এটি ছোট হতে পারে না।
অপশন (5): $xy$। যেহেতু $x, y > 1$, তাই এদের গুণফল অবশ্যই এদের ভাগফলের চেয়ে অনেক বড় হবে।
স্পষ্টতই দেখা যাচ্ছে, ক্রমটি হলো:
$\frac{x}{y} > \frac{x+1}{y+1} > \frac{x+2}{y+2}$
সুতরাং, প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট মান হলো $\frac{x+2}{y+2}$।
সঠিক উত্তর: (x + 2)/(y + 2)
শর্টকাট টেকনিক (মান ধরে সমাধান):
মনে করি, $x = 3$ এবং $y = 2$ (যেহেতু $x > y > 1$ শর্ত মানতে হবে)।
এখন অপশনগুলোর মান বের করি:
১. $\frac{x}{y} = \frac{3}{2} = 1.5$
২. $\frac{x+2}{y+2} = \frac{3+2}{2+2} = \frac{5}{4} = 1.25$
৩. $\frac{x+1}{y+1} = \frac{3+1}{2+1} = \frac{4}{3} \approx 1.33$
৪. $\frac{x+1}{y} = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
৫. $xy = 3 \times 2 = 6$
এখানে প্রাপ্ত মানগুলো হলো: $1.5, 1.25, 1.33, 2$ এবং $6$।
এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট মান হলো $1.25$, যা $\frac{x+2}{y+2}$ নির্দেশ করে।
আমাদের বের করতে হবে নিচের কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে ছোট।
লক্ষ্য করুন, অপশনগুলোতে বেশ কয়েকটি ভগ্নাংশ আছে যা $\frac{x}{y}$ এর সাথে সম্পর্কিত।
যেহেতু $x > y$, তাই $\frac{x}{y}$ একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ (Improper Fraction), যার মান ১-এর চেয়ে বড়।
আমরা জানি, কোনো প্রকৃত বা অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের সাথে একই ধনাত্মক সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মানের পরিবর্তন হয়।
নিয়মটি হলো: যদি একটি ভগ্নাংশ $\frac{a}{b} > 1$ হয়, তবে লব ও হরের সাথে কোনো ধনাত্মক সংখ্যা $k$ যোগ করলে নতুন ভগ্নাংশটির মান আগের চেয়ে ছোট হবে।
অর্থাৎ, $\frac{a+k}{b+k} < \frac{a}{b}$।
এই নিয়ম অনুযায়ী অপশনগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:
১. তুলনা করি $\frac{x}{y}$ এবং $\frac{x+1}{y+1}$ এর মধ্যে:
যেহেতু $\frac{x}{y} > 1$, তাই লব ও হরের সাথে ১ যোগ করলে মান কমে যাবে।
সুতরাং, $\frac{x+1}{y+1} < \frac{x}{y}$।
২. তুলনা করি $\frac{x+1}{y+1}$ এবং $\frac{x+2}{y+2}$ এর মধ্যে:
একইভাবে, $\frac{x+1}{y+1}$ এর লব ও হরের সাথে আরও ১ যোগ করলে পাওয়া যায় $\frac{x+2}{y+2}$।
যেহেতু ভগ্নাংশটি ১-এর চেয়ে বড়, তাই যোগ করার ফলে মান আরও কমবে।
সুতরাং, $\frac{x+2}{y+2} < \frac{x+1}{y+1}$।
৩. অন্যান্য অপশন যাচাই:
অপশন (4): $\frac{x+1}{y} = \frac{x}{y} + \frac{1}{y}$। এটি $\frac{x}{y}$ এর চেয়েও বড়। তাই এটি ছোট হতে পারে না।
অপশন (5): $xy$। যেহেতু $x, y > 1$, তাই এদের গুণফল অবশ্যই এদের ভাগফলের চেয়ে অনেক বড় হবে।
স্পষ্টতই দেখা যাচ্ছে, ক্রমটি হলো:
$\frac{x}{y} > \frac{x+1}{y+1} > \frac{x+2}{y+2}$
সুতরাং, প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট মান হলো $\frac{x+2}{y+2}$।
সঠিক উত্তর: (x + 2)/(y + 2)
শর্টকাট টেকনিক (মান ধরে সমাধান):
মনে করি, $x = 3$ এবং $y = 2$ (যেহেতু $x > y > 1$ শর্ত মানতে হবে)।
এখন অপশনগুলোর মান বের করি:
১. $\frac{x}{y} = \frac{3}{2} = 1.5$
২. $\frac{x+2}{y+2} = \frac{3+2}{2+2} = \frac{5}{4} = 1.25$
৩. $\frac{x+1}{y+1} = \frac{3+1}{2+1} = \frac{4}{3} \approx 1.33$
৪. $\frac{x+1}{y} = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
৫. $xy = 3 \times 2 = 6$
এখানে প্রাপ্ত মানগুলো হলো: $1.5, 1.25, 1.33, 2$ এবং $6$।
এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট মান হলো $1.25$, যা $\frac{x+2}{y+2}$ নির্দেশ করে।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা-১৯
কোর্স নামঃ
টপিক ভিত্তিক জব সলিউশন রুটিন (১৬৫ দিনের)
টপিকসঃ
গণিত: বীজগণিত: সরল ও দ্বিপদী অসমতা, সূচক ও লগারিদম, ধারা, সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র
বাংলা সাহিত্য: মীর মশাররফ হোসেন, সৈয়দ মুজতবা আলী, প্রমথ চৌধুরী, মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, বিভূতিভূষণ বন্দ্যোপাধ্যায়, কল্লোল যুগ ও বাংলা সাহিত্যের পঞ্চপাণ্ডব, মুসলিম সাহিত্য সমাজের সাহিত্যিকগণ, শওকত ওসমান, শামসুর রাহমান, আল মাহমুদ, সৈয়দ শামসুল হক, সেলিম আল দীন, হুমায়ুন আজাদ, হুমায়ুন আহমেদ, সৈয়দ ওয়ালীউল্লাহ, আখতারুজ্জামান ইলিয়াস
বাংলা সাহিত্য: মীর মশাররফ হোসেন, সৈয়দ মুজতবা আলী, প্রমথ চৌধুরী, মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, বিভূতিভূষণ বন্দ্যোপাধ্যায়, কল্লোল যুগ ও বাংলা সাহিত্যের পঞ্চপাণ্ডব, মুসলিম সাহিত্য সমাজের সাহিত্যিকগণ, শওকত ওসমান, শামসুর রাহমান, আল মাহমুদ, সৈয়দ শামসুল হক, সেলিম আল দীন, হুমায়ুন আজাদ, হুমায়ুন আহমেদ, সৈয়দ ওয়ালীউল্লাহ, আখতারুজ্জামান ইলিয়াস
পরীক্ষা শুরুঃ ২২ জুন, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ১০
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়): বাংলা
টপিকসঃ
প্রবন্ধ রচনা:
'রাজবন্দীর জবানবন্দী': বাংলা একাডেমি, ঢাকা থেকে প্রকাশিত 'নজরুল রচনাবলী' থেকে।
'রাজবন্দীর জবানবন্দী': বাংলা একাডেমি, ঢাকা থেকে প্রকাশিত 'নজরুল রচনাবলী' থেকে।
পরীক্ষা শুরুঃ ৫ আগস্ট, ২০২৬
রুটিন দেখুন
সাপ্তাহিক প্রবাহ- ১১২
কোর্স নামঃ
সাম্প্রতিক বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী
টপিকসঃ
বিগত সপ্তাহের বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়ক সাম্প্রতিক ঘটনাপ্রবাহ ও গত একবছরের গুরুত্বপূর্ণ সাম্প্রতিক।
পরীক্ষা – ১
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য:
বাংলা সাহিত্যর যুগ বিভাগ, চর্যাপদ, মধ্যযুগের গুপূর্ণ লেখক, বাংলা সাহিত্যে অন্ধকার যুগ, শ্রীকৃষ্ণকীর্তন, বৈষ্ণব সাহিত্য, মঙ্গলকাব্য, অনুবাদ সাহিত্য, নাথ সাহিত্য, মার্সিয়া সাহিত্য, লোক সাহিত্য, অবক্ষয় যুগ/যুগসন্ধিক্ষণ।
বাংলা সাহিত্যর যুগ বিভাগ, চর্যাপদ, মধ্যযুগের গুপূর্ণ লেখক, বাংলা সাহিত্যে অন্ধকার যুগ, শ্রীকৃষ্ণকীর্তন, বৈষ্ণব সাহিত্য, মঙ্গলকাব্য, অনুবাদ সাহিত্য, নাথ সাহিত্য, মার্সিয়া সাহিত্য, লোক সাহিত্য, অবক্ষয় যুগ/যুগসন্ধিক্ষণ।
(৬ষ্ঠ ব্যাচ) পরীক্ষা শুরুঃ ১০ সেপ্টেম্বর, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions