Which of the following is the smallest given that x > y > 1?
Solution
Correct Answer: Option B
দেওয়া আছে, $x > y > 1$। অর্থাৎ $x$ এবং $y$ উভয়ই ১-এর চেয়ে বড় এবং ধনাত্মক সংখ্যা।
আমাদের বের করতে হবে নিচের কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে ছোট।
লক্ষ্য করুন, অপশনগুলোতে বেশ কয়েকটি ভগ্নাংশ আছে যা $\frac{x}{y}$ এর সাথে সম্পর্কিত।
যেহেতু $x > y$, তাই $\frac{x}{y}$ একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ (Improper Fraction), যার মান ১-এর চেয়ে বড়।
আমরা জানি, কোনো প্রকৃত বা অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের সাথে একই ধনাত্মক সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মানের পরিবর্তন হয়।
নিয়মটি হলো: যদি একটি ভগ্নাংশ $\frac{a}{b} > 1$ হয়, তবে লব ও হরের সাথে কোনো ধনাত্মক সংখ্যা $k$ যোগ করলে নতুন ভগ্নাংশটির মান আগের চেয়ে ছোট হবে।
অর্থাৎ, $\frac{a+k}{b+k} < \frac{a}{b}$।
এই নিয়ম অনুযায়ী অপশনগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:
১. তুলনা করি $\frac{x}{y}$ এবং $\frac{x+1}{y+1}$ এর মধ্যে:
যেহেতু $\frac{x}{y} > 1$, তাই লব ও হরের সাথে ১ যোগ করলে মান কমে যাবে।
সুতরাং, $\frac{x+1}{y+1} < \frac{x}{y}$।
২. তুলনা করি $\frac{x+1}{y+1}$ এবং $\frac{x+2}{y+2}$ এর মধ্যে:
একইভাবে, $\frac{x+1}{y+1}$ এর লব ও হরের সাথে আরও ১ যোগ করলে পাওয়া যায় $\frac{x+2}{y+2}$।
যেহেতু ভগ্নাংশটি ১-এর চেয়ে বড়, তাই যোগ করার ফলে মান আরও কমবে।
সুতরাং, $\frac{x+2}{y+2} < \frac{x+1}{y+1}$।
৩. অন্যান্য অপশন যাচাই:
অপশন (4): $\frac{x+1}{y} = \frac{x}{y} + \frac{1}{y}$। এটি $\frac{x}{y}$ এর চেয়েও বড়। তাই এটি ছোট হতে পারে না।
অপশন (5): $xy$। যেহেতু $x, y > 1$, তাই এদের গুণফল অবশ্যই এদের ভাগফলের চেয়ে অনেক বড় হবে।
স্পষ্টতই দেখা যাচ্ছে, ক্রমটি হলো:
$\frac{x}{y} > \frac{x+1}{y+1} > \frac{x+2}{y+2}$
সুতরাং, প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট মান হলো $\frac{x+2}{y+2}$।
সঠিক উত্তর: (x + 2)/(y + 2)
শর্টকাট টেকনিক (মান ধরে সমাধান):
মনে করি, $x = 3$ এবং $y = 2$ (যেহেতু $x > y > 1$ শর্ত মানতে হবে)।
এখন অপশনগুলোর মান বের করি:
১. $\frac{x}{y} = \frac{3}{2} = 1.5$
২. $\frac{x+2}{y+2} = \frac{3+2}{2+2} = \frac{5}{4} = 1.25$
৩. $\frac{x+1}{y+1} = \frac{3+1}{2+1} = \frac{4}{3} \approx 1.33$
৪. $\frac{x+1}{y} = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
৫. $xy = 3 \times 2 = 6$
এখানে প্রাপ্ত মানগুলো হলো: $1.5, 1.25, 1.33, 2$ এবং $6$।
এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট মান হলো $1.25$, যা $\frac{x+2}{y+2}$ নির্দেশ করে।
আমাদের বের করতে হবে নিচের কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে ছোট।
লক্ষ্য করুন, অপশনগুলোতে বেশ কয়েকটি ভগ্নাংশ আছে যা $\frac{x}{y}$ এর সাথে সম্পর্কিত।
যেহেতু $x > y$, তাই $\frac{x}{y}$ একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ (Improper Fraction), যার মান ১-এর চেয়ে বড়।
আমরা জানি, কোনো প্রকৃত বা অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের সাথে একই ধনাত্মক সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মানের পরিবর্তন হয়।
নিয়মটি হলো: যদি একটি ভগ্নাংশ $\frac{a}{b} > 1$ হয়, তবে লব ও হরের সাথে কোনো ধনাত্মক সংখ্যা $k$ যোগ করলে নতুন ভগ্নাংশটির মান আগের চেয়ে ছোট হবে।
অর্থাৎ, $\frac{a+k}{b+k} < \frac{a}{b}$।
এই নিয়ম অনুযায়ী অপশনগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:
১. তুলনা করি $\frac{x}{y}$ এবং $\frac{x+1}{y+1}$ এর মধ্যে:
যেহেতু $\frac{x}{y} > 1$, তাই লব ও হরের সাথে ১ যোগ করলে মান কমে যাবে।
সুতরাং, $\frac{x+1}{y+1} < \frac{x}{y}$।
২. তুলনা করি $\frac{x+1}{y+1}$ এবং $\frac{x+2}{y+2}$ এর মধ্যে:
একইভাবে, $\frac{x+1}{y+1}$ এর লব ও হরের সাথে আরও ১ যোগ করলে পাওয়া যায় $\frac{x+2}{y+2}$।
যেহেতু ভগ্নাংশটি ১-এর চেয়ে বড়, তাই যোগ করার ফলে মান আরও কমবে।
সুতরাং, $\frac{x+2}{y+2} < \frac{x+1}{y+1}$।
৩. অন্যান্য অপশন যাচাই:
অপশন (4): $\frac{x+1}{y} = \frac{x}{y} + \frac{1}{y}$। এটি $\frac{x}{y}$ এর চেয়েও বড়। তাই এটি ছোট হতে পারে না।
অপশন (5): $xy$। যেহেতু $x, y > 1$, তাই এদের গুণফল অবশ্যই এদের ভাগফলের চেয়ে অনেক বড় হবে।
স্পষ্টতই দেখা যাচ্ছে, ক্রমটি হলো:
$\frac{x}{y} > \frac{x+1}{y+1} > \frac{x+2}{y+2}$
সুতরাং, প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট মান হলো $\frac{x+2}{y+2}$।
সঠিক উত্তর: (x + 2)/(y + 2)
শর্টকাট টেকনিক (মান ধরে সমাধান):
মনে করি, $x = 3$ এবং $y = 2$ (যেহেতু $x > y > 1$ শর্ত মানতে হবে)।
এখন অপশনগুলোর মান বের করি:
১. $\frac{x}{y} = \frac{3}{2} = 1.5$
২. $\frac{x+2}{y+2} = \frac{3+2}{2+2} = \frac{5}{4} = 1.25$
৩. $\frac{x+1}{y+1} = \frac{3+1}{2+1} = \frac{4}{3} \approx 1.33$
৪. $\frac{x+1}{y} = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
৫. $xy = 3 \times 2 = 6$
এখানে প্রাপ্ত মানগুলো হলো: $1.5, 1.25, 1.33, 2$ এবং $6$।
এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট মান হলো $1.25$, যা $\frac{x+2}{y+2}$ নির্দেশ করে।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions