What is the minimum number of plants one should have so that they can be arranged in 12, 15 or 18 rows and also be arranged in equal number of rows and columns?

- প্রশ্নে বলা হয়েছে, গাছগুলোকে $12$, $15$ এবং $18$ টি সারিতে সাজানো যায়। এর মানে হলো, গাছের ন্যূনতম সংখ্যা হবে $12$, $15$ এবং $18$ এর ল.সা.গু (LCM)।
- আবার শর্ত দেওয়া হয়েছে যে, গাছগুলোকে সমান সংখ্যক সারি ও কলামে (equal number of rows and columns) সাজাতে হবে। কোনো কিছুকে সমান সারি ও কলামে সাজানোর অর্থ হলো মোট সংখ্যাটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা (Perfect Square) হতে হবে ।
- প্রথমে আমরা $12$, $15$ এবং $18$ এর ল.সা.গু বের করি:
$12 = 2 \times 2 \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$18 = 2 \times 3 \times 3$
অতএব, ল.সা.গু = $2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 180$
- এখন লক্ষ্য করো, $180$ এর উৎপাদকগুলোর মধ্যে $2$ এবং $3$ জোড়ায় জোড়ায় আছে, অর্থাৎ $(2 \times 2) \times (3 \times 3) \times 5$, কিন্তু $5$ এর কোনো জোড়া নেই। তাই $180$ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয় ।
- $180$ কে পূর্ণবর্গ বানাতে হলে, জোড়াবিহীন $5$ কে আরেকটি $5$ দিয়ে গুণ করে জোড়া মেলাতে হবে ।
- অতএব, নির্ণেয় গাছের ন্যূনতম সংখ্যা = $180 \times 5 = 900$
- $900$ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা (কারণ $30 \times 30 = 900$) এবং এটি $12$, $15$ ও $18$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য। তাই এটিই আমাদের সঠিক উত্তর।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।