Find a unit vector normal to the plane ABC as shown in the figure given below. Note that a vector normal to the plane will be perpendicular to any two of AB, AC and BC vectors.
Solution
Correct Answer: Option B
ছবি অনুযায়ী, তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে:
-
$A(0, 0, 1)$
-
$B(1, 0, 0)$
-
$C(0, 1, 0)$
ধাপ ১: তলের ওপর যেকোনো দুটি ভেক্টর নির্ণয়
প্রথমে আমরা ABC তলের ওপর অবস্থিত দুটি ভেক্টর, যেমন $\vec{AB}$ এবং $\vec{AC}$ বের করব।
-
$\vec{AB}$ ভেক্টরটি হবে B বিন্দুর স্থানাঙ্ক থেকে A বিন্দুর স্থানাঙ্কের বিয়োগফল:
$$\vec{AB} = (1-0)\hat{i} + (0-0)\hat{j} + (0-1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{k}$$ -
একইভাবে, $\vec{AC}$ ভেক্টরটি হবে C বিন্দুর স্থানাঙ্ক থেকে A বিন্দুর স্থানাঙ্কের বিয়োগফল:
$$\vec{AC} = (0-0)\hat{i} + (1-0)\hat{j} + (0-1)\hat{k} = \hat{j} - \hat{k}$$
ধাপ ২: তলের ওপর লম্ব ভেক্টর (Normal Vector) নির্ণয়
ভেক্টর বীজগণিতের নিয়ম অনুযায়ী, কোনো তলের ওপর অবস্থিত দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল (Cross product) করলে যে নতুন ভেক্টরটি পাওয়া যায়, তা ওই তলের ওপর লম্ব হয়। সুতরাং, লম্ব ভেক্টর ($\vec{N}$) হবে $\vec{AB}$ এবং $\vec{AC}$ এর ক্রস গুণফল।
$$\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC}$$
নির্ণায়কের (Determinant) সাহায্যে ক্রস গুণফল বের করি:
$$\vec{N} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$
এখন নির্ণায়কটি বিস্তার করে পাই:
$$\vec{N} = \hat{i}(0 \cdot -1 - (-1) \cdot 1) - \hat{j}(1 \cdot -1 - (-1) \cdot 0) + \hat{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)$$
$$\vec{N} = \hat{i}(0 + 1) - \hat{j}(-1 - 0) + \hat{k}(1 - 0)$$
$$\vec{N} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$$
ধাপ ৩: একক লম্ব ভেক্টর (Unit Normal Vector) নির্ণয়
আমাদের শুধু লম্ব ভেক্টর বের করলেই হবে না, তার একক ভেক্টর (যাঁর মান ১) বের করতে হবে। কোনো ভেক্টরের একক ভেক্টর নির্ণয় করতে হলে, সেই ভেক্টরকে তার মান (magnitude) দিয়ে ভাগ করতে হয়।
প্রথমে $\vec{N}$ ভেক্টরটির মান বের করি:
$$\vert{}\vec{N}\vert{} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$$
অতএব, নির্ণেয় একক লম্ব ভেক্টর ($\hat{n}$):
$$\hat{n} = \frac{\vec{N}}{\vert{}\vec{N}\vert{}}$$
$$\hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$$
$$\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$$
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা - ১৩
কোর্স নামঃ
১৯তম নিবন্ধন (প্রভাষক): গ্রন্থাগার ও তথ্য বিজ্ঞান
টপিকসঃ
আধুনিক প্রযুক্তি ও সাম্প্রতিক উন্নয়ন:
গ্রন্থাগার বিজ্ঞান ও তথ্যপ্রযুক্তির সাম্প্রতিক উন্নয়ন, ই-লাইব্রেরি ও ডিজিটাল তথ্য ব্যবস্থাপনা।
গ্রন্থাগার বিজ্ঞান ও তথ্যপ্রযুক্তির সাম্প্রতিক উন্নয়ন, ই-লাইব্রেরি ও ডিজিটাল তথ্য ব্যবস্থাপনা।
পরীক্ষা শুরুঃ ২৫ জুলাই, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions