নিচে ধাপে ধাপে এর বিস্তারিত গাণিতিক সমাধান দেওয়া হলো:

• গাড়ি দুটির মধ্যবর্তী প্রাথমিক দূরত্ব = $6000\text{ m}$।

• গাড়ি A: স্থির অবস্থান ($u = 0$) থেকে যাত্রা শুরু করে। এর ত্বরণ ($a$) = $6\text{ m/s}^2$। এটি $80\text{ m/s}$ বেগ অর্জন করা পর্যন্ত ত্বরণে চলে এবং এরপর সমবেগে চলতে থাকে।

• গাড়ি B: শুরু থেকেই $60\text{ m/s}$ সমবেগে গাড়ি A এর দিকে এগিয়ে আসছে।

প্রথম অংশ: গাড়ি A-এর ত্বরণকালীন অবস্থা

প্রথমে আমরা বের করব গাড়ি A-এর $80\text{ m/s}$ বেগ অর্জন করতে কত সময় লাগে এবং এই সময়ে সে কতটুকু দূরত্ব অতিক্রম করে।

• সময় ($t_1$) নির্ণয়:

  গতির সূত্র $v = u + at$ ব্যবহার করে পাই,

  $$80 = 0 + 6 \cdot t_1$$
  $$t_1 = \frac{80}{6} = \frac{40}{3}\text{ s}$$

• গাড়ি A-এর অতিক্রান্ত দূরত্ব ($S_{A1}$):

  গতির সূত্র $v^2 = u^2 + 2as$ ব্যবহার করে পাই,

  $$80^2 = 0^2 + 2 \cdot 6 \cdot S_{A1}$$
  $$6400 = 12 \cdot S_{A1}$$
  $$S_{A1} = \frac{6400}{12} = \frac{1600}{3}\text{ m}$$

• একই সময়ে গাড়ি B-এর অতিক্রান্ত দূরত্ব ($S_{B1}$):

  গাড়ি B যেহেতু সমবেগে চলছে, তাই $s = vt$ সূত্র অনুযায়ী:

  $$S_{B1} = 60 \cdot \frac{40}{3} = 20 \cdot 40 = 800\text{ m}$$

দ্বিতীয় অংশ: গাড়ি দুটির সমবেগে চলাকালীন অবস্থা

$t_1$ সময় পর, গাড়ি A তার সর্বোচ্চ বেগ $80\text{ m/s}$ এ পৌঁছে যায়। এখন উভয় গাড়িই সমবেগে পরস্পরের দিকে এগিয়ে আসতে থাকে।

• বাকি দূরত্ব নির্ণয়:

  $$\text{মোট দূরত্ব} - (S_{A1} + S_{B1})$$
  $$= 6000 - \left(\frac{1600}{3} + 800\right)$$
  $$= 6000 - \left(\frac{1600 + 2400}{3}\right)$$
  $$= 6000 - \frac{4000}{3} = \frac{18000 - 4000}{3} = \frac{14000}{3}\text{ m}$$

• আপেক্ষিক বেগ (Relative Velocity):

  যেহেতু গাড়ি দুটি পরস্পরের দিকে আসছে, তাদের আপেক্ষিক বেগ যোগ হবে।

  $$V_{rel} = v_A + v_B = 80 + 60 = 140\text{ m/s}$$

• বাকি দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময় ($t_2$):

  $$t_2 = \frac{\text{বাকি দূরত্ব}}{\text{আপেক্ষিক বেগ}}$$
  $$t_2 = \frac{\frac{14000}{3}}{140} = \frac{14000}{3 \cdot 140} = \frac{100}{3}\text{ s}$$

• এই $t_2$ সময়ে গাড়ি A-এর অতিক্রান্ত দূরত্ব ($S_{A2}$):

  $$S_{A2} = v_A \cdot t_2 = 80 \cdot \frac{100}{3} = \frac{8000}{3}\text{ m}$$

চূড়ান্ত ফলাফল

পরস্পরকে অতিক্রম করার আগ পর্যন্ত গাড়ি A-এর মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে তার ত্বরণ এবং সমবেগ অবস্থার দূরত্বের যোগফল।

অতএব, গাড়ি দুটি একে অপরকে অতিক্রম করার সময় গাড়ি A মোট $3200\text{ m}$ দূরত্ব অতিক্রম করবে।

আমরা বল ছোঁড়ার আনুভূমিক বিন্দুটিকে মূলবিন্দু ($x=0$) এবং মাটিকে $y=0$ ধরে হিসাব করব।

• বল ছোঁড়ার বিন্দু (A):

  • উচ্চতা, $y_0 = 7\text{ m}$

  • নিক্ষেপণ কোণ, $\theta = 30^\circ$

• বাস্কেট হুপের বিন্দু (C):

  • বলটি যখন C বিন্দুতে পৌঁছায়, তখন তার আনুভূমিক দূরত্ব $x_C = b + c = 25 + 5 = 30\text{ m}$

  • C বিন্দুর উচ্চতা, $y_C = d = 10\text{ m}$

• খেলোয়াড় B-এর অবস্থান:

  • আনুভূমিক দূরত্ব, $x_B = b = 25\text{ m}$

  • আমাদের এই বিন্দুতে বলের উচ্চতা ($y_B = h$) নির্ণয় করতে হবে।

প্রাসের গতির সমীকরণ থেকে আমরা জানি:

(যেখানে $v$ হলো আদিবেগ এবং $g$ হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ)

প্রথমে সমীকরণে C বিন্দুর মানগুলো ($x = 30$, $y = 10$) বসাই:

এখান থেকে আমরা $\frac{g}{v^2}$ অংশটির মান আলাদা করে নিই:

এখন সমীকরণে B বিন্দুর মানগুলো ($x = 25$, $y = h$) বসাই:

এখন "সমীকরণ ১" থেকে $\frac{g}{v^2}$ এর মানটি এখানে বসিয়ে দিই (এভাবে হিসাব করলে $g$ এর মানের কোনো প্রয়োজন হয় না):

ভগ্নাংশগুলোকে সরল করলে দাঁড়ায়:

এখন মানগুলো বসালে ($\sqrt{3} \approx 1.732$):

দশমিকের পর দুই ঘর পর্যন্ত হিসাব করলে বলটির উচ্চতা $h \approx 11.48\text{ m}$ পাওয়া যায়।

সাম্যাবস্থার শর্তানুসারে, পিভট বিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার দিকের মোট টর্ক এবং ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকের মোট টর্ক পরস্পর সমান হবে।

দেওয়া আছে:

• টেবিলের মোট দৈর্ঘ্য = $2.4\text{ m} = 240\text{ cm}$

• টেবিলের ভর ($m_t$) = $60\text{ kg}$

• শিশুর ভর ($m_c$) = $40\text{ kg}$

• বাম প্রান্ত থেকে পিভটের দূরত্ব = $80\text{ cm}$

১. টেবিলের ভরকেন্দ্রের অবস্থান:

যেহেতু টেবিলটি সুষম (uniform), তাই এর পুরো ওজন এর ঠিক মাঝখানে বা ভরকেন্দ্রে কাজ করবে।

ভরকেন্দ্রের অবস্থান বাম প্রান্ত থেকে = $\frac{240}{2} = 120\text{ cm}$ দূরে।

সুতরাং, পিভট বিন্দু থেকে টেবিলের ভরকেন্দ্রের দূরত্ব = $120 - 80 = \mathbf{40\text{ cm}}$।

এই ওজনটি পিভটের ডানদিকে কাজ করছে, যা ঘড়ির কাঁটার দিকে (clockwise) টর্ক তৈরি করবে।

২. শিশুর অবস্থান:

ধরি, শিশুটি বাম প্রান্ত থেকে $x\text{ cm}$ দূরে বসেছে।

তাহলে পিভট বিন্দু থেকে শিশুর দূরত্ব হবে = $\mathbf{(80 - x)\text{ cm}}$।

শিশুর ওজন পিভটের বামদিকে কাজ করছে, যা ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে (counter-clockwise) টর্ক তৈরি করবে।

পিভট বিন্দুর সাপেক্ষে টর্কের হিসাব করে পাই:

ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকের টর্ক (শিশুর কারণে) = ঘড়ির কাঁটার দিকের টর্ক (টেবিলের কারণে)

উভয় পক্ষ থেকে অভিকর্ষজ ত্বরণ ($g$) বাদ দিয়ে সরাসরি ভরের হিসাব করলে:

এখন সমীকরণটি সমাধান করি:

অতএব, ডানদিকের স্কেলের রিডিং শূন্য করতে হলে শিশুটিকে টেবিলের বাম প্রান্ত থেকে ঠিক $20\text{ cm}$ দূরে বসতে হবে।

প্রশ্নে বলা হয়েছে:

• নৌকাটির ওপর লব্ধি বল (Resultant Force), $F_1 = 80\text{ lb}$, যা অনুভূমিক লাইন 'aa' বরাবর কাজ করছে।

• দড়ির টান $T$, অনুভূমিক লাইনের সাথে $\theta_1 = 30^\circ$ কোণে কাজ করছে।

• শর্ত দেওয়া হয়েছে: বল $P$-এর মান সর্বনিম্ন (minimum) হতে হবে।

ভেক্টর ত্রিভুজ নীতি (Vector Triangle Principle):

বল সংযোজন বা ভেক্টর ত্রিভুজের নিয়ম অনুযায়ী, যখন দুটি বল ($P$ এবং $T$) মিলে একটি নির্দিষ্ট লব্ধি বল ($F_1$) তৈরি করে এবং এর মধ্যে একটি বলের ($T$) দিক বা কোণ নির্দিষ্ট থাকে, তখন অপর বলটির ($P$) মান সর্বনিম্ন হবে তখনই, যখন সেটি প্রথম বলটির ($T$) সাথে লম্বভাবে (perpendicular) বা $90^\circ$ কোণে কাজ করবে।

অর্থাৎ, $P$-কে সর্বনিম্ন হতে হলে, ভেক্টর চিত্র অনুযায়ী $P$ এবং $T$-এর রেখার মধ্যবর্তী কোণ অবশ্যই $90^\circ$ হতে হবে।

আমরা যদি $F_1$, $T$, এবং $P$ বল দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করি, তাহলে:

• অতিভুজ (Hypotenuse) = লব্ধি বল $F_1 = 80\text{ lb}$

• $P$ হবে লম্ব, যার ঠিক বিপরীত দিকের কোণটি হলো $\theta_1 = 30^\circ$

ত্রিকোণমিতির সূত্রানুসারে আমরা জানি:

এখন সমীকরণে আমাদের জানা মানগুলো বসিয়ে পাই:

আমরা জানি, $\sin(30^\circ) = 0.5$, সুতরাং:

অতএব, নৌকাটিকে অনুভূমিক বরাবর টানতে বল $P$-এর সর্বনিম্ন প্রয়োজনীয় মান হবে $40\text{ lb}$।

বিস্তারিত সমাধান:

১. অধিবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ:

চিত্র থেকে দেখা যাচ্ছে, অধিবৃত্তটির কেন্দ্র মূলবিন্দুতে $(0,0)$ অবস্থিত এবং এর প্রধান অক্ষ (transverse axis) x-অক্ষ বরাবর রয়েছে। এই ধরনের অধিবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো:

২. $a^2$ এর মান নির্ণয়:

চিত্রে অধিবৃত্তের ডানদিকের শীর্ষবিন্দুটি (vertex) দেওয়া আছে $(120, 0)$। মূলবিন্দু থেকে শীর্ষবিন্দুর এই দূরত্বই হলো $a$ এর মান।

সুতরাং, $a = 120$

অতএব, $a^2 = (120)^2 = 14400$

এখন সমীকরণটি দাঁড়ায়:

৩. $b^2$ এর মান নির্ণয়:

চিত্রে দেখা যাচ্ছে, অধিবৃত্তটি $(140, 60)$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করেছে। অর্থাৎ, এই বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা সমীকরণ ১ সিদ্ধ হবে। সমীকরণে $x = 140$ এবং $y = 60$ বসিয়ে পাই:

ভগ্নাংশটিকে ছোট করতে লব ও হরকে ৪ দিয়ে ভাগ করি:

আড়গুণন করে পাই:

৪. চূড়ান্ত সমীকরণ:

এখন $b^2$ এর প্রাপ্ত মান সমীকরণ ১-এ বসিয়ে পাই:

ভগ্নাংশটি উল্টে গেলে চূড়ান্ত সমীকরণটি দাঁড়ায়:

এটিই হলো অধিবৃত্তটির (hyperbola) গাণিতিক সমীকরণ।

ধরি, প্রদত্ত রাশিটি হলো $y$:

এখানে ব্র্যাকেটের ভেতরের অংশটুকু সরল করার জন্য আমাদের দুটি গুরুত্বপূর্ণ ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করতে হবে:

১. $1 - \cos x = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$

২. $1 + \cos x = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$

এখন এই সূত্রগুলো মূল সমীকরণে বসিয়ে পাই:

লব এবং হর থেকে $2$ কাটা যায়:

আমরা জানি, $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$, তাই:

বর্গমূল (square root) এবং বর্গ (square) একে অপরকে বাতিল করে দেয়:

বিপরীত ত্রিকোণমিতির নিয়ম অনুযায়ী, $\tan^{-1}(\tan \theta) = \theta$। সুতরাং:

এখন সমীকরণটিকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (differentiate) করে পাই:

যেহেতু $x$ এর সাপেক্ষে $x$ এর ডেরিভেটিভ $1$, তাই:

অতএব, নির্ণেয় মান হলো $1/2$।