৪৫তম বিসিএস, প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ, সরকারি চাকরি, ব্যাংক প্রস্তুতি

পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ (Standard Equation):

চিত্র থেকে দেখা যাচ্ছে, এটি একটি ডানদিকে খোলা (right-opening) পরাবৃত্ত।
যদি আমরা এর শীর্ষবিন্দু (Vertex), $V$ -কে গ্রাফের মূলবিন্দু $(0,0)$ ধরি এবং এর প্রতিসাম্য অক্ষকে (axis of symmetry) $x$ -অক্ষ বরাবর ধরি, তবে পরাবৃত্তটির আদর্শ সমীকরণ হবে:

$y^2 = 4ax$
এখানে $a$ হলো শীর্ষবিন্দু থেকে উপকেন্দ্র বা ফোকাসের (Focus), $F$ এর দূরত্ব। অর্থাৎ, $VF = a$ ।

উপকেন্দ্রিক লম্বের (Latus Rectum) দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

প্রশ্নে বলা হয়েছে, ফোকাসে একটি আলোর উৎস আছে এবং চিত্রে $F$ হলো সেই ফোকাস বিন্দু।
ফোকাস বা উপকেন্দ্র দিয়ে অতিক্রান্ত এবং অক্ষরেখার উপর লম্ব রেখাংশ $AB$ -কে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব বা Latus Rectum বলা হয়।
চিত্র অনুযায়ী, এই উপকেন্দ্রিক লম্বের উপরের অংশ $AF = 5 \text{ cm}$ এবং নিচের অংশ $FB = 5 \text{ cm}$ ।
সুতরাং, উপকেন্দ্রিক লম্বের মোট দৈর্ঘ্য = $5 + 5 = 10 \text{ cm}$ ।
জ্যামিতিক সূত্র অনুযায়ী, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য হলো $4a$ ।

অতএব, $4a = 10$

চূড়ান্ত সমীকরণ গঠন:

এখন পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণে $4a$ এর মানটি বসিয়ে দিলে আমরা কাঙ্ক্ষিত সমীকরণটি পেয়ে যাব:

$y^2 = (4a)x$

$y^2 = 10x$

সুতরাং, জ্যামিতিক হিসাব অনুযায়ী পরাবৃত্তটির সমীকরণ হবে $y^2 = 10x$।