session:2017-18 (87 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

সাধারণত প্রাসের ক্ষেত্রে কোণটি অনুভূমিক (x-অক্ষ) বরাবর মাপা হয়, কিন্তু চিত্রে লক্ষ্য করলে দেখবেন, নিক্ষেপণ কোণ $\theta$ উলম্ব অক্ষের (y-অক্ষ) সাথে দেওয়া আছে।

ধরি, বস্তুর আদিবেগ = $v$

  • x-অক্ষ বরাবর বেগের উপাংশ = $v \sin\theta$

  • y-অক্ষ বরাবর বেগের উপাংশ = $v \cos\theta$

প্রাসের গতির সূত্র অনুযায়ী:

১. অনুভূমিক সরণ, $x = (v \sin\theta)t \implies t = \frac{x}{v \sin\theta}$

২. উলম্ব সরণ, $y = (v \cos\theta)t - \frac{1}{2}gt^2$

$y$-এর সমীকরণে $t$-এর মান বসালে আমরা সঞ্চারপথের সমীকরণটি পাব:

$$y = (v \cos\theta)\left(\frac{x}{v \sin\theta}\right) - \frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v \sin\theta}\right)^2$$
$$y = x \left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right) - \frac{gx^2}{2v^2 \sin^2\theta}$$
$$y = x \cot\theta - \frac{gx^2}{2v^2 \sin^2\theta}$$

হিসাবের সুবিধার্থে, ধরি ধ্রুবক অংশ $\frac{g}{2v^2 \sin^2\theta} = k$

তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:

$$y = x \cot\theta - kx^2 \quad \text{--- (সমীকরণ ১)}$$

প্রশ্ন অনুযায়ী, বস্তুটি $A(2,2)$ এবং $B(3,1)$ বিন্দু দুটি অতিক্রম করে। অর্থাৎ, এই দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক আমাদের সমীকরণ ১-কে সিদ্ধ করবে।

বিন্দু A $(2,2)$ এর জন্য:

সমীকরণ ১-এ $x = 2$ এবং $y = 2$ বসিয়ে পাই:

$$2 = 2 \cot\theta - k(2^2)$$
$$2 = 2 \cot\theta - 4k$$

উভয় পক্ষকে $2$ দিয়ে ভাগ করে:

$$1 = \cot\theta - 2k$$
$$2k = \cot\theta - 1$$
$$k = \frac{\cot\theta - 1}{2} \quad \text{--- (সমীকরণ ২)}$$

বিন্দু B $(3,1)$ এর জন্য:

সমীকরণ ১-এ $x = 3$ এবং $y = 1$ বসিয়ে পাই:

$$1 = 3 \cot\theta - k(3^2)$$
$$1 = 3 \cot\theta - 9k \quad \text{--- (সমীকরণ ৩)}$$

এখন সমীকরণ ৩-এ সমীকরণ ২ থেকে প্রাপ্ত $k$-এর মানটি বসিয়ে দিই:

$$1 = 3 \cot\theta - 9 \left( \frac{\cot\theta - 1}{2} \right)$$

উভয় পক্ষকে $2$ দিয়ে গুণ করি:

$$2 = 6 \cot\theta - 9(\cot\theta - 1)$$
$$2 = 6 \cot\theta - 9 \cot\theta + 9$$
$$2 = -3 \cot\theta + 9$$
$$3 \cot\theta = 9 - 2$$
$$3 \cot\theta = 7$$
$$\cot\theta = \frac{7}{3}$$

আমরা জানি, $\tan\theta = \frac{1}{\cot\theta}$, সুতরাং:

$$\tan\theta = \frac{3}{7}$$
$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{7}\right)$$

ক্যালকুলেটরে হিসাব করলে মানটি দাঁড়ায়:

$$\theta = 23.198^\circ...$$

দশমিকের পর এক ঘর পর্যন্ত নিলে কাঙ্ক্ষিত কোণ $\theta \approx 23.2^\circ$ পাওয়া যায়।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

চিত্রে, ত্রিভুজটির ভূমি হলো $AC$ রেখাংশ। $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-a, a^2)$ এবং $C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(a, a^2)$।

  • ভূমি $AC$-এর দৈর্ঘ্য = $a - (-a) = 2a$

  • ত্রিভুজটির উচ্চতা হলো মূলবিন্দু $O(0,0)$ থেকে $AC$ রেখার লম্ব দূরত্ব, অর্থাৎ $y$-অক্ষ বরাবর দূরত্ব = $a^2$

অতএব, ত্রিভুজ AOC-এর ক্ষেত্রফল ($A_T$):

$$A_T = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$$
$$A_T = \frac{1}{2} \times 2a \times a^2$$
$$A_T = a^3$$

পরাবৃত্ত $y = x^2$ এবং সরলরেখা $y = a^2$ দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল বের করতে হবে। এটি নির্ণয় করার জন্য আমরা নির্দিষ্ট সমাকলন (Definite Integral) ব্যবহার করব।

ক্ষেত্রফলটি $x = -a$ থেকে $x = a$ পর্যন্ত বিস্তৃত:

$$A_P = \int_{-a}^{a} (a^2 - x^2) dx$$

যেহেতু $(a^2 - x^2)$ একটি জোড় ফাংশন (even function), আমরা একে এভাবে লিখতে পারি:

$$A_P = 2 \int_{0}^{a} (a^2 - x^2) dx$$

এখন সমাকলন (integration) করে পাই:

$$A_P = 2 \left[ a^2x - \frac{x^3}{3} \right]_0^a$$
$$A_P = 2 \left( a^2(a) - \frac{a^3}{3} \right)$$
$$A_P = 2 \left( a^3 - \frac{a^3}{3} \right)$$
$$A_P = 2 \left( \frac{3a^3 - a^3}{3} \right)$$
$$A_P = 2 \left( \frac{2a^3}{3} \right)$$
$$A_P = \frac{4a^3}{3}$$

প্রথমে অনুপাতটি বের করি:

$$\text{অনুপাত} = \frac{A_T}{A_P}$$
$$\text{অনুপাত} = \frac{a^3}{\frac{4a^3}{3}}$$
$$\text{অনুপাত} = a^3 \times \frac{3}{4a^3}$$
$$\text{অনুপাত} = \frac{3}{4}$$

দেখা যাচ্ছে, অনুপাতটি $a$-এর মানের ওপর নির্ভরশীল নয়; এটি সর্বদা একটি ধ্রুবক বা কনস্ট্যান্ট ($3/4$)। তাই $a \to 0$ হলেও এর মানের কোনো পরিবর্তন হবে না।

সুতরাং, নির্ণেয় লিমিট:

$$\lim_{a \to 0} \frac{A_T}{A_P} = \lim_{a \to 0} \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$$

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

দেওয়া আছে:

  • দণ্ডটির মোট দৈর্ঘ্য, $AB = 15\text{ cm}$

  • $P$ বিন্দুটি দণ্ডটিকে এমনভাবে বিভক্ত করে যেন, $AP = 6\text{ cm}$

  • সুতরাং, দণ্ডটির বাকি অংশের দৈর্ঘ্য, $PB = AB - AP = 15 - 6 = 9\text{ cm}$

ধরি, যেকোনো মুহূর্তে দণ্ডটি X-অক্ষের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে। অর্থাৎ, চিত্রে $\angle PAR = \theta$।

$P$ বিন্দু থেকে Y-অক্ষের ওপর $PQ$ এবং X-অক্ষের ওপর $PR$ লম্ব টানি।

যেহেতু $PQ$ রেখাটি X-অক্ষের সমান্তরাল, তাই অনুরূপ কোণ হিসেবে $\angle BPQ = \theta$ হবে।

$P(x,y)$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক অনুযায়ী:

  • Y-অক্ষ থেকে $P$ বিন্দুর লম্ব দূরত্ব, $PQ = x$

  • X-অক্ষ থেকে $P$ বিন্দুর লম্ব দূরত্ব, $PR = y$

নিচের সমকোণী ত্রিভুজ $\Delta PAR$ হতে পাই:

$$\sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{PR}{AP}$$
$$\sin\theta = \frac{y}{6} \quad \text{--- (সমীকরণ ১)}$$

উপরের সমকোণী ত্রিভুজ $\Delta BQP$ হতে পাই:

$$\cos\theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{PQ}{BP}$$
$$\cos\theta = \frac{x}{9} \quad \text{--- (সমীকরণ ২)}$$

আমরা ত্রিকোণমিতির মৌলিক সূত্র থেকে জানি:

$$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$$

এখন সমীকরণ ১ এবং ২ থেকে $\sin\theta$ এবং $\cos\theta$ এর মানগুলো এই সূত্রে বসিয়ে পাই:

$$\left(\frac{x}{9}\right)^2 + \left(\frac{y}{6}\right)^2 = 1$$
$$\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{36} = 1$$

এটাই হলো $P$ বিন্দুর সঞ্চারপথের নির্ণেয় সমীকরণ, যা জ্যামিতিকভাবে একটি উপবৃত্তকে (Ellipse) নির্দেশ করে।
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0