A hyperbolic mirror is used in some telescopes. Such a mirror has the property that light ray directed at one focus will be reflected to th eother focus as shown in the figure will below. Which of the following equations models the hyperbolic mirror's surface ?

১. কেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু নির্ণয়:

সাধারণত এই ধরনের গাণিতিক সমস্যায় হিসাবের সুবিধার্থে অধিবৃত্তের কেন্দ্রকে মূলবিন্দু $(0,0)$ ধরা হয়।

চিত্র থেকে দেখা যাচ্ছে, অধিবৃত্তের ডানদিকের অংশটি x-অক্ষকে $(15, 0)$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। অর্থাৎ, এর শীর্ষবিন্দু (Vertex) হলো $(15, 0)$ ।

সুতরাং, অধিবৃত্তের কেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব, $a = 15$ ।

২. সাধারণ সমীকরণ:

মূলবিন্দুতে কেন্দ্র বিশিষ্ট এবং x-অক্ষ বরাবর বিস্তৃত অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হলো:

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

এখানে $a = 15$ বসালে সমীকরণটি দাঁড়ায়:

\frac{x^2}{15^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

\frac{x^2}{225} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{--- (সমীকরণ ১)}

৩. অজানা মান ( $b^2$ ) নির্ণয়:

চিত্রে দেওয়া আছে যে, অধিবৃত্তটি $(20, 20)$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করেছে। তাই এই বিন্দুর স্থানাঙ্ক দিয়ে সমীকরণ ১ কে সিদ্ধ করা যাবে।

সমীকরণে $x = 20$ এবং $y = 20$ বসিয়ে পাই:

\frac{20^2}{225} - \frac{20^2}{b^2} = 1

\frac{400}{225} - \frac{400}{b^2} = 1

\frac{16}{9} - 1 = \frac{400}{b^2} \quad \text{(উভয় লব ও হরকে ২৫ দিয়ে ভাগ করে)}

\frac{7}{9} = \frac{400}{b^2}

b^2 = \frac{400 \times 9}{7}

b^2 = \frac{3600}{7}

৪. চূড়ান্ত সমীকরণ:

এখন $b^2$ এর মান সমীকরণ ১-এ বসিয়ে পাই:

\frac{x^2}{225} - \frac{y^2}{\frac{3600}{7}} = 1

\frac{x^2}{225} - \frac{7y^2}{3600} = 1

সমীকরণটিকে আরও সরল করতে উভয় পাশে $3600$ দিয়ে গুণ করলে পাই:

16x^2 - 7y^2 = 3600

এটাই হলো চিত্রিত অধিবৃত্তাকার আয়নাটির পৃষ্ঠের গাণিতিক সমীকরণ।