$ ? $

ধরি, প্রদত্ত রাশিটি হলো $y$ :

y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}

এখানে ব্র্যাকেটের ভেতরের অংশটুকু সরল করার জন্য আমাদের দুটি গুরুত্বপূর্ণ ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করতে হবে:

১. $1 - \cos x = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$

২. $1 + \cos x = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$

এখন এই সূত্রগুলো মূল সমীকরণে বসিয়ে পাই:

y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}}

লব এবং হর থেকে $2$ কাটা যায়:

y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}}

আমরা জানি, $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ , তাই:

y = \tan^{-1} \sqrt{\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}

বর্গমূল (square root) এবং বর্গ (square) একে অপরকে বাতিল করে দেয়:

y = \tan^{-1} \left( \tan\left(\frac{x}{2}\right) \right)

বিপরীত ত্রিকোণমিতির নিয়ম অনুযায়ী, $\tan^{-1}(\tan \theta) = \theta$ । সুতরাং:

y = \frac{x}{2}

এখন সমীকরণটিকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (differentiate) করে পাই:

\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \right)

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(x)

যেহেতু $x$ এর সাপেক্ষে $x$ এর ডেরিভেটিভ $1$ , তাই:

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot 1

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}

অতএব, নির্ণেয় মান হলো $1/2$।

\( ? \)