Long range navigation (LORAN) is a radio navigation system developed during world war II the system unable app pilot to guide aircraft by maintaining a constant difference between the aircrafts distances from two fixed points the master station and the slave station right and equation of hyperbola depicted in the following figure.

বিস্তারিত সমাধান:

১. অধিবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ:

চিত্র থেকে দেখা যাচ্ছে, অধিবৃত্তটির কেন্দ্র মূলবিন্দুতে $(0,0)$ অবস্থিত এবং এর প্রধান অক্ষ (transverse axis) x-অক্ষ বরাবর রয়েছে। এই ধরনের অধিবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো:

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

২. $a^2$ এর মান নির্ণয়:

চিত্রে অধিবৃত্তের ডানদিকের শীর্ষবিন্দুটি (vertex) দেওয়া আছে $(120, 0)$ । মূলবিন্দু থেকে শীর্ষবিন্দুর এই দূরত্বই হলো $a$ এর মান।

সুতরাং, $a = 120$

অতএব, $a^2 = (120)^2 = 14400$

এখন সমীকরণটি দাঁড়ায়:

\frac{x^2}{14400} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{--- (সমীকরণ ১)}

৩. $b^2$ এর মান নির্ণয়:

চিত্রে দেখা যাচ্ছে, অধিবৃত্তটি $(140, 60)$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করেছে। অর্থাৎ, এই বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা সমীকরণ ১ সিদ্ধ হবে। সমীকরণে $x = 140$ এবং $y = 60$ বসিয়ে পাই:

\frac{140^2}{14400} - \frac{60^2}{b^2} = 1

\frac{19600}{14400} - \frac{3600}{b^2} = 1

\frac{196}{144} - \frac{3600}{b^2} = 1

ভগ্নাংশটিকে ছোট করতে লব ও হরকে ৪ দিয়ে ভাগ করি:

\frac{49}{36} - \frac{3600}{b^2} = 1

\frac{3600}{b^2} = \frac{49}{36} - 1

\frac{3600}{b^2} = \frac{49 - 36}{36}

\frac{3600}{b^2} = \frac{13}{36}

আড়গুণন করে পাই:

13b^2 = 3600 \times 36

13b^2 = 129600

b^2 = \frac{129600}{13}

৪. চূড়ান্ত সমীকরণ:

এখন $b^2$ এর প্রাপ্ত মান সমীকরণ ১-এ বসিয়ে পাই:

\frac{x^2}{14400} - \frac{y^2}{\frac{129600}{13}} = 1

ভগ্নাংশটি উল্টে গেলে চূড়ান্ত সমীকরণটি দাঁড়ায়:

\frac{x^2}{14400} - \frac{13y^2}{129600} = 1

এটিই হলো অধিবৃত্তটির (hyperbola) গাণিতিক সমীকরণ।

Solution

Practice More Questions on Our App!

Related Topics