A In a suspension bridge the shape of the suspension cables is parabolic. The bridge shown in the following figure has tower that are 600m apart, and the lowest point of the suspension cables is 150m below the top of the tower, find the equation of the parabolic part of the cables, placing the origin of the coordinate system at the vertex (that is the lowest point of the cables)

আমরা বল ছোঁড়ার আনুভূমিক বিন্দুটিকে মূলবিন্দু ( $x=0$ ) এবং মাটিকে $y=0$ ধরে হিসাব করব।

বল ছোঁড়ার বিন্দু (A):
- উচ্চতা, $y_0 = 7\text{ m}$
- নিক্ষেপণ কোণ, $\theta = 30^\circ$
বাস্কেট হুপের বিন্দু (C):
- বলটি যখন C বিন্দুতে পৌঁছায়, তখন তার আনুভূমিক দূরত্ব $x_C = b + c = 25 + 5 = 30\text{ m}$
- C বিন্দুর উচ্চতা, $y_C = d = 10\text{ m}$
খেলোয়াড় B-এর অবস্থান:
- আনুভূমিক দূরত্ব, $x_B = b = 25\text{ m}$
- আমাদের এই বিন্দুতে বলের উচ্চতা ( $y_B = h$ ) নির্ণয় করতে হবে।

প্রাসের গতির সমীকরণ থেকে আমরা জানি:

y = y_0 + x \tan\theta - \frac{g x^2}{2 v^2 \cos^2\theta}

(যেখানে $v$ হলো আদিবেগ এবং $g$ হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ)

প্রথমে সমীকরণে C বিন্দুর মানগুলো ( $x = 30$ , $y = 10$ ) বসাই:

10 = 7 + 30 \tan(30^\circ) - \frac{g \cdot (30)^2}{2 v^2 \cos^2(30^\circ)}

3 = 30 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \frac{900 g}{2 v^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}

3 = 10\sqrt{3} - \frac{900 g}{2 v^2 \left(\frac{3}{4}\right)}

3 = 10\sqrt{3} - \frac{900 g}{1.5 v^2}

3 = 10\sqrt{3} - \frac{600 g}{v^2}

এখান থেকে আমরা $\frac{g}{v^2}$ অংশটির মান আলাদা করে নিই:

\frac{600 g}{v^2} = 10\sqrt{3} - 3

\frac{g}{v^2} = \frac{10\sqrt{3} - 3}{600} \quad \text{--- (সমীকরণ ১)}

এখন সমীকরণে B বিন্দুর মানগুলো ( $x = 25$ , $y = h$ ) বসাই:

h = 7 + 25 \tan(30^\circ) - \frac{g \cdot (25)^2}{2 v^2 \cos^2(30^\circ)}

h = 7 + \frac{25}{\sqrt{3}} - \frac{625 g}{2 v^2 \left(\frac{3}{4}\right)}

h = 7 + \frac{25\sqrt{3}}{3} - \frac{625}{1.5} \left(\frac{g}{v^2}\right)

এখন "সমীকরণ ১" থেকে $\frac{g}{v^2}$ এর মানটি এখানে বসিয়ে দিই (এভাবে হিসাব করলে $g$ এর মানের কোনো প্রয়োজন হয় না):

h = 7 + \frac{25\sqrt{3}}{3} - \frac{625}{1.5} \left( \frac{10\sqrt{3} - 3}{600} \right)

h = 7 + \frac{25\sqrt{3}}{3} - \frac{625}{900} (10\sqrt{3} - 3)

h = 7 + \frac{25\sqrt{3}}{3} - \frac{25}{36} (10\sqrt{3} - 3)

h = 7 + \frac{25\sqrt{3}}{3} - \frac{250\sqrt{3}}{36} + \frac{75}{36}

ভগ্নাংশগুলোকে সরল করলে দাঁড়ায়:

h = 7 + \frac{300\sqrt{3} - 250\sqrt{3}}{36} + \frac{25}{12}

h = 7 + \frac{50\sqrt{3}}{36} + \frac{25}{12}

h = 7 + \frac{25\sqrt{3}}{18} + \frac{25}{12}

এখন মানগুলো বসালে ( $\sqrt{3} \approx 1.732$ ):

h = 7 + 2.405 + 2.083

h = 11.488 \text{ m}

দশমিকের পর দুই ঘর পর্যন্ত হিসাব করলে বলটির উচ্চতা $h \approx 11.48\text{ m}$ পাওয়া যায়।