Car A starts from rest at t=0 and travels along a straight road with a constant acceleration of 6ms^-2 until it reaches a speed of 80m/s. Afterwards it maintains this speed. In contrast, at t=0, car B located 6000m down the road is traveling towards A at a constant speed of 60 m/s. Find the distance traveled by car A when they pass each other.

নিচে ধাপে ধাপে এর বিস্তারিত গাণিতিক সমাধান দেওয়া হলো:

• গাড়ি দুটির মধ্যবর্তী প্রাথমিক দূরত্ব = $6000\text{ m}$।

• গাড়ি A: স্থির অবস্থান ($u = 0$) থেকে যাত্রা শুরু করে। এর ত্বরণ ($a$) = $6\text{ m/s}^2$। এটি $80\text{ m/s}$ বেগ অর্জন করা পর্যন্ত ত্বরণে চলে এবং এরপর সমবেগে চলতে থাকে।

• গাড়ি B: শুরু থেকেই $60\text{ m/s}$ সমবেগে গাড়ি A এর দিকে এগিয়ে আসছে।

প্রথম অংশ: গাড়ি A-এর ত্বরণকালীন অবস্থা

প্রথমে আমরা বের করব গাড়ি A-এর $80\text{ m/s}$ বেগ অর্জন করতে কত সময় লাগে এবং এই সময়ে সে কতটুকু দূরত্ব অতিক্রম করে।

• সময় ($t_1$) নির্ণয়:

  গতির সূত্র $v = u + at$ ব্যবহার করে পাই,

  $$80 = 0 + 6 \cdot t_1$$
  $$t_1 = \frac{80}{6} = \frac{40}{3}\text{ s}$$

• গাড়ি A-এর অতিক্রান্ত দূরত্ব ($S_{A1}$):

  গতির সূত্র $v^2 = u^2 + 2as$ ব্যবহার করে পাই,

  $$80^2 = 0^2 + 2 \cdot 6 \cdot S_{A1}$$
  $$6400 = 12 \cdot S_{A1}$$
  $$S_{A1} = \frac{6400}{12} = \frac{1600}{3}\text{ m}$$

• একই সময়ে গাড়ি B-এর অতিক্রান্ত দূরত্ব ($S_{B1}$):

  গাড়ি B যেহেতু সমবেগে চলছে, তাই $s = vt$ সূত্র অনুযায়ী:

  $$S_{B1} = 60 \cdot \frac{40}{3} = 20 \cdot 40 = 800\text{ m}$$

দ্বিতীয় অংশ: গাড়ি দুটির সমবেগে চলাকালীন অবস্থা

$t_1$ সময় পর, গাড়ি A তার সর্বোচ্চ বেগ $80\text{ m/s}$ এ পৌঁছে যায়। এখন উভয় গাড়িই সমবেগে পরস্পরের দিকে এগিয়ে আসতে থাকে।

• বাকি দূরত্ব নির্ণয়:

  $$\text{মোট দূরত্ব} - (S_{A1} + S_{B1})$$
  $$= 6000 - \left(\frac{1600}{3} + 800\right)$$
  $$= 6000 - \left(\frac{1600 + 2400}{3}\right)$$
  $$= 6000 - \frac{4000}{3} = \frac{18000 - 4000}{3} = \frac{14000}{3}\text{ m}$$

• আপেক্ষিক বেগ (Relative Velocity):

  যেহেতু গাড়ি দুটি পরস্পরের দিকে আসছে, তাদের আপেক্ষিক বেগ যোগ হবে।

  $$V_{rel} = v_A + v_B = 80 + 60 = 140\text{ m/s}$$

• বাকি দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময় ($t_2$):

  $$t_2 = \frac{\text{বাকি দূরত্ব}}{\text{আপেক্ষিক বেগ}}$$
  $$t_2 = \frac{\frac{14000}{3}}{140} = \frac{14000}{3 \cdot 140} = \frac{100}{3}\text{ s}$$

• এই $t_2$ সময়ে গাড়ি A-এর অতিক্রান্ত দূরত্ব ($S_{A2}$):

  $$S_{A2} = v_A \cdot t_2 = 80 \cdot \frac{100}{3} = \frac{8000}{3}\text{ m}$$

চূড়ান্ত ফলাফল

পরস্পরকে অতিক্রম করার আগ পর্যন্ত গাড়ি A-এর মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে তার ত্বরণ এবং সমবেগ অবস্থার দূরত্বের যোগফল।

অতএব, গাড়ি দুটি একে অপরকে অতিক্রম করার সময় গাড়ি A মোট $3200\text{ m}$ দূরত্ব অতিক্রম করবে।