From the figure below, equation of the parabola is --

চিত্র হতে প্রাপ্ত তথ্য:

পরাবৃত্তটির ফোকাস বা উপকেন্দ্র (Focus), $S = (4, 0)$
পরাবৃত্তটির নিয়ামক বা দ্বিকাক্ষ রেখার (Directrix) সমীকরণ, $x + 2 = 0$ বা $x = -2$

পরাবৃত্তের সাধারণ সংজ্ঞানুযায়ী, পরাবৃত্তের ওপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দু থেকে তার উপকেন্দ্রের দূরত্ব এবং নিয়ামক রেখার লম্ব দূরত্ব সর্বদা সমান হয়।

ধরি, পরাবৃত্তের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু $P(x,y)$ এবং নিয়ামক রেখার ওপর $P$ বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু $M$ ।

তাহলে শর্তমতে:

SP = PM

১. $P(x,y)$ থেকে উপকেন্দ্র $S(4,0)$ এর দূরত্ব ( $SP$ ):

দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রানুযায়ী,

SP = \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + y^2}

২. $P(x,y)$ থেকে নিয়ামক রেখা $x + 2 = 0$ এর লম্ব দূরত্ব ( $PM$ ):

লম্ব দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রানুযায়ী,

PM = \frac{\vert{}x + 2\vert{}}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = (x + 2)

এখন, $SP = PM$ সমীকরণে মানগুলো বসিয়ে পাই:

\sqrt{(x - 4)^2 + y^2} = x + 2

উভয় পক্ষকে বর্গ (square) করে পাই:

(x - 4)^2 + y^2 = (x + 2)^2

এখন বীজগণিতের সূত্র $(a-b)^2$ এবং $(a+b)^2$ প্রয়োগ করে সমীকরণটি সরল করি:

x^2 - 8x + 16 + y^2 = x^2 + 4x + 4

$y^2$ কে বামপাশে রেখে বাকি পদগুলো ডানপাশে নিয়ে গেলে:

y^2 = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 8x - 16

y^2 = (x^2 - x^2) + (4x + 8x) + (4 - 16)

y^2 = 12x - 12

ডানপাশ থেকে $12$ কমন নিলে চূড়ান্ত সমীকরণটি দাঁড়ায়:

y^2 = 12(x - 1)

এটিই হলো চিত্রে প্রদর্শিত পরাবৃত্তটির নির্ণেয় গাণিতিক সমীকরণ।