A circular garden is bounded by East avenue and diagonal road as shown in the figure given below.Diagonal road intersects North Street at C and East avenue at D.Diagonal Road is tangential to the circular garden at B find the equation of the diagonal road.

জ্যামিতির একটি মৌলিক সূত্র হলো: কোনো বৃত্তের স্পর্শক (Tangent) এবং স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ (Radius) পরস্পর লম্ব (Perpendicular) হয়।

চিত্র থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী:

বৃত্তাকার বাগানের কেন্দ্র, $X(7, 7)$
ডায়াগোনাল রাস্তাটি বৃত্তের একটি স্পর্শক এবং এর স্পর্শবিন্দু হলো $B(3, 10)$ ।
তার মানে হলো, কেন্দ্র $X(7, 7)$ এবং স্পর্শবিন্দু $B(3, 10)$ যোগ করলে যে ব্যাসার্ধ রেখাটি ( $XB$ ) পাওয়া যাবে, সেটি ডায়াগোনাল রাস্তার উপর লম্ব হবে।

প্রথমে আমরা $X(7, 7)$ এবং $B(3, 10)$ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ রেখাটির ঢাল (Slope) বের করব। দুটি বিন্দুগামী রেখার ঢাল নির্ণয়ের সূত্র হলো:

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

মানগুলো বসিয়ে পাই (ধরি ঢাল $m_1$ ):

m_1 = \frac{10 - 7}{3 - 7}

m_1 = \frac{3}{-4}

m_1 = -\frac{3}{4}

যেহেতু ডায়াগোনাল রাস্তাটি $XB$ ব্যাসার্ধের উপর লম্ব, তাই এই দুটি রেখার ঢালের গুণফল $-1$ হবে।

ধরি, ডায়াগোনাল রাস্তার ঢাল $m_2$ ।

লম্ব হওয়ার শর্তানুযায়ী:

m_1 \times m_2 = -1

-\frac{3}{4} \times m_2 = -1

m_2 = \frac{4}{3}

এখন আমরা ডায়াগোনাল রাস্তার ঢাল ( $m_2 = \frac{4}{3}$ ) পেয়ে গেছি এবং আমরা জানি এই রাস্তাটি $B(3, 10)$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।

একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী এবং নির্দিষ্ট ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করে পাই:

y - y_1 = m(x - x_1)

এখানে $m = \frac{4}{3}$ , $x_1 = 3$ এবং $y_1 = 10$ বসিয়ে পাই:

y - 10 = \frac{4}{3}(x - 3)

সমীকরণটি সরল করার জন্য আড়গুণন (Cross-multiplication) করি:

3(y - 10) = 4(x - 3)

3y - 30 = 4x - 12

এখন সবগুলো পদ একপাশে নিয়ে আসি:

4x - 12 - 3y + 30 = 0

4x - 3y + 18 = 0

এটিই হলো নির্ণেয় ডায়াগোনাল রাস্তার গাণিতিক সমীকরণ।