A rod AB of length 15 cm rests in between to coordinate axis in such a way that the end point a lies on x-axis and end point B lies on y-axis A point P(x,y) is taken on the rod in such a way that AP = 6cm if the rod moves with its end always touching the coordinate axis find the equation of the locus of the point P

দেওয়া আছে:

ধরি, যেকোনো মুহূর্তে দণ্ডটি X-অক্ষের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে। অর্থাৎ, চিত্রে $\angle PAR = \theta$ ।

$P$ বিন্দু থেকে Y-অক্ষের ওপর $PQ$ এবং X-অক্ষের ওপর $PR$ লম্ব টানি।

যেহেতু $PQ$ রেখাটি X-অক্ষের সমান্তরাল, তাই অনুরূপ কোণ হিসেবে $\angle BPQ = \theta$ হবে।

$P(x,y)$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক অনুযায়ী:

নিচের সমকোণী ত্রিভুজ $\Delta PAR$ হতে পাই:

\sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{PR}{AP}

\sin\theta = \frac{y}{6} \quad \text{--- (সমীকরণ ১)}

উপরের সমকোণী ত্রিভুজ $\Delta BQP$ হতে পাই:

\cos\theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{PQ}{BP}

\cos\theta = \frac{x}{9} \quad \text{--- (সমীকরণ ২)}

আমরা ত্রিকোণমিতির মৌলিক সূত্র থেকে জানি:

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

এখন সমীকরণ ১ এবং ২ থেকে $\sin\theta$ এবং $\cos\theta$ এর মানগুলো এই সূত্রে বসিয়ে পাই:

\left(\frac{x}{9}\right)^2 + \left(\frac{y}{6}\right)^2 = 1

\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{36} = 1

এটাই হলো $P$ বিন্দুর সঞ্চারপথের নির্ণেয় সমীকরণ, যা জ্যামিতিকভাবে একটি উপবৃত্তকে (Ellipse) নির্দেশ করে।