The figure given below shows triangle AOC inscribed in the region cut from the parabola y = x² by the line y=a² find the limit of the ratio if the area of the triangle to the area of the parabolic region as approaches zero.

চিত্রে, ত্রিভুজটির ভূমি হলো $AC$ রেখাংশ। $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-a, a^2)$ এবং $C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(a, a^2)$ ।

ভূমি $AC$ -এর দৈর্ঘ্য = $a - (-a) = 2a$
ত্রিভুজটির উচ্চতা হলো মূলবিন্দু $O(0,0)$ থেকে $AC$ রেখার লম্ব দূরত্ব, অর্থাৎ $y$ -অক্ষ বরাবর দূরত্ব = $a^2$

অতএব, ত্রিভুজ AOC-এর ক্ষেত্রফল ( $A_T$ ):

A_T = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}

A_T = \frac{1}{2} \times 2a \times a^2

A_T = a^3

পরাবৃত্ত $y = x^2$ এবং সরলরেখা $y = a^2$ দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল বের করতে হবে। এটি নির্ণয় করার জন্য আমরা নির্দিষ্ট সমাকলন (Definite Integral) ব্যবহার করব।

ক্ষেত্রফলটি $x = -a$ থেকে $x = a$ পর্যন্ত বিস্তৃত:

A_P = \int_{-a}^{a} (a^2 - x^2) dx

যেহেতু $(a^2 - x^2)$ একটি জোড় ফাংশন (even function), আমরা একে এভাবে লিখতে পারি:

A_P = 2 \int_{0}^{a} (a^2 - x^2) dx

এখন সমাকলন (integration) করে পাই:

A_P = 2 \left[ a^2x - \frac{x^3}{3} \right]_0^a

A_P = 2 \left( a^2(a) - \frac{a^3}{3} \right)

A_P = 2 \left( a^3 - \frac{a^3}{3} \right)

A_P = 2 \left( \frac{3a^3 - a^3}{3} \right)

A_P = 2 \left( \frac{2a^3}{3} \right)

A_P = \frac{4a^3}{3}

প্রথমে অনুপাতটি বের করি:

\text{অনুপাত} = \frac{A_T}{A_P}

\text{অনুপাত} = \frac{a^3}{\frac{4a^3}{3}}

\text{অনুপাত} = a^3 \times \frac{3}{4a^3}

\text{অনুপাত} = \frac{3}{4}

দেখা যাচ্ছে, অনুপাতটি $a$ -এর মানের ওপর নির্ভরশীল নয়; এটি সর্বদা একটি ধ্রুবক বা কনস্ট্যান্ট ( $3/4$ )। তাই $a \to 0$ হলেও এর মানের কোনো পরিবর্তন হবে না।

সুতরাং, নির্ণেয় লিমিট:

\lim_{a \to 0} \frac{A_T}{A_P} = \lim_{a \to 0} \frac{3}{4} = \frac{3}{4}

The figure given below shows triangle AOC inscribed in the region cut from the parabola y = x² by the line y=a² find the limit of the ratio if the area of the triangle to the area of the parabolic region as approaches zero.

Solution

Practice More Questions on Our App!

Related Topics