A small wall from electrode device at O is ejected in such a way that he is past is through small aperture at A and strikes the contact point at B as shown in the figure below.the coordinates of A and B are (2,2) and (3,1) respectively if the player controls the angel θ and velocity v, then the value of θ that gives him a success is:-

সাধারণত প্রাসের ক্ষেত্রে কোণটি অনুভূমিক (x-অক্ষ) বরাবর মাপা হয়, কিন্তু চিত্রে লক্ষ্য করলে দেখবেন, নিক্ষেপণ কোণ $\theta$ উলম্ব অক্ষের (y-অক্ষ) সাথে দেওয়া আছে।

ধরি, বস্তুর আদিবেগ = $v$

x-অক্ষ বরাবর বেগের উপাংশ = $v \sin\theta$
y-অক্ষ বরাবর বেগের উপাংশ = $v \cos\theta$

প্রাসের গতির সূত্র অনুযায়ী:

১. অনুভূমিক সরণ, $x = (v \sin\theta)t \implies t = \frac{x}{v \sin\theta}$

২. উলম্ব সরণ, $y = (v \cos\theta)t - \frac{1}{2}gt^2$

$y$ -এর সমীকরণে $t$ -এর মান বসালে আমরা সঞ্চারপথের সমীকরণটি পাব:

y = (v \cos\theta)\left(\frac{x}{v \sin\theta}\right) - \frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v \sin\theta}\right)^2

y = x \left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right) - \frac{gx^2}{2v^2 \sin^2\theta}

y = x \cot\theta - \frac{gx^2}{2v^2 \sin^2\theta}

হিসাবের সুবিধার্থে, ধরি ধ্রুবক অংশ $\frac{g}{2v^2 \sin^2\theta} = k$

তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:

y = x \cot\theta - kx^2 \quad \text{--- (সমীকরণ ১)}

প্রশ্ন অনুযায়ী, বস্তুটি $A(2,2)$ এবং $B(3,1)$ বিন্দু দুটি অতিক্রম করে। অর্থাৎ, এই দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক আমাদের সমীকরণ ১-কে সিদ্ধ করবে।

বিন্দু A $(2,2)$ এর জন্য:

সমীকরণ ১-এ $x = 2$ এবং $y = 2$ বসিয়ে পাই:

2 = 2 \cot\theta - k(2^2)

2 = 2 \cot\theta - 4k

উভয় পক্ষকে $2$ দিয়ে ভাগ করে:

1 = \cot\theta - 2k

2k = \cot\theta - 1

k = \frac{\cot\theta - 1}{2} \quad \text{--- (সমীকরণ ২)}

বিন্দু B $(3,1)$ এর জন্য:

সমীকরণ ১-এ $x = 3$ এবং $y = 1$ বসিয়ে পাই:

1 = 3 \cot\theta - k(3^2)

1 = 3 \cot\theta - 9k \quad \text{--- (সমীকরণ ৩)}

এখন সমীকরণ ৩-এ সমীকরণ ২ থেকে প্রাপ্ত $k$ -এর মানটি বসিয়ে দিই:

1 = 3 \cot\theta - 9 \left( \frac{\cot\theta - 1}{2} \right)

উভয় পক্ষকে $2$ দিয়ে গুণ করি:

2 = 6 \cot\theta - 9(\cot\theta - 1)

2 = 6 \cot\theta - 9 \cot\theta + 9

2 = -3 \cot\theta + 9

3 \cot\theta = 9 - 2

3 \cot\theta = 7

\cot\theta = \frac{7}{3}

আমরা জানি, $\tan\theta = \frac{1}{\cot\theta}$ , সুতরাং:

\tan\theta = \frac{3}{7}

\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{7}\right)

ক্যালকুলেটরে হিসাব করলে মানটি দাঁড়ায়:

\theta = 23.198^\circ...

দশমিকের পর এক ঘর পর্যন্ত নিলে কাঙ্ক্ষিত কোণ $\theta \approx 23.2^\circ$ পাওয়া যায়।

Solution

Practice More Questions on Our App!

Related Topics