A ball is thrown from a point O, which is 6m above horizontal ground. The ball is projectd with speed u ms-1 at an angle θ above the horizontal. There is a thin vertical post which is 4m high and 8m horizontally away from the vertical through O, as shown in following figure. The ball passes just above the top of the post 2s after projection. Find the value of tanθ.

চিত্র এবং প্রশ্ন অনুযায়ী:

নিক্ষেপণ বিন্দু $O$ , যা অনুভূমিক ভূমি থেকে $6\text{ মিটার}$ উপরে অবস্থিত।
পোস্টটির উচ্চতা ভূমি থেকে $4\text{ মিটার}$ । কিন্তু যেহেতু নিক্ষেপণ বিন্দুটি ভূমি থেকে $6\text{ মিটার}$ উপরে, তাই নিক্ষেপণ বিন্দু $O$ -এর সাপেক্ষে পোস্টের শীর্ষবিন্দুর উলম্ব দূরত্ব (vertical distance) হবে:

$y = 4 - 6 = -2\text{ মিটার}$ (যেহেতু এটি নিক্ষেপণ বিন্দুর নিচে অবস্থিত)।
পোস্টটির অনুভূমিক দূরত্ব (horizontal distance), $x = 8\text{ মিটার}$ ।
সময়, $t = 2\text{ সেকেন্ড}$ ।
অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ ms}^{-2}$ (বা অনেক সময় হিসাবের সুবিধার জন্য $9.8$ ধরে করা হয়)।

আমরা জানি, অনুভূমিক দিকে কোনো ত্বরণ থাকে না। তাই অনুভূমিক সরণ:

x = (u \cos\theta)t

মানগুলো বসিয়ে পাই:

8 = (u \cos\theta) \times 2

u \cos\theta = \frac{8}{2}

u \cos\theta = 4 \quad \text{--- (সমীকরণ ১)}

উলম্ব দিকের গতির সূত্রানুযায়ী:

y = (u \sin\theta)t - \frac{1}{2}gt^2

এখানে $y = -2$ , $t = 2$ এবং $g = 9.8$ বসিয়ে পাই:

-2 = (u \sin\theta)(2) - \frac{1}{2}(9.8)(2)^2

-2 = 2u \sin\theta - 4.9 \times 4

-2 = 2u \sin\theta - 19.6

এখন সমীকরণটি সমাধান করি:

2u \sin\theta = 19.6 - 2

2u \sin\theta = 17.6

u \sin\theta = \frac{17.6}{2}

u \sin\theta = 8.8 \quad \text{--- (সমীকরণ ২)}

এখন আমরা সমীকরণ ২ কে সমীকরণ ১ দ্বারা ভাগ করব ( $\frac{u \sin\theta}{u \cos\theta}$ ):

\frac{u \sin\theta}{u \cos\theta} = \frac{8.8}{4}

\tan\theta = 2.2

অতএব, $\tan\theta$ -এর নির্ণেয় মান হলো $2.2$।