In ΔABC, a= 2b and ∠A=3θ , what is the value of θ ?

সাইন সূত্র অনুযায়ী, যেকোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য এবং তাদের বিপরীত কোণগুলোর সাইন (sine) এর অনুপাত সর্বদা সমান হয়:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

চিত্র হতে প্রাপ্ত তথ্য:

এখন সাইন সূত্রে এই মানগুলো বসিয়ে পাই:

\frac{2b}{\sin(3\theta)} = \frac{b}{\sin(\theta)}

উভয় পক্ষ থেকে $b$ বাদ দিয়ে পাই (যেহেতু বাহুর দৈর্ঘ্য শূন্য হতে পারে না):

\frac{2}{\sin(3\theta)} = \frac{1}{\sin(\theta)}

আড়গুণন (Cross-multiplication) করে পাই:

2\sin(\theta) = \sin(3\theta) \quad \text{--- (সমীকরণ ১)}

আমরা ত্রিকোণমিতির একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র জানি:

\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta

এই সূত্রটি সমীকরণ ১-এ বসিয়ে পাই:

2\sin(\theta) = 3\sin(\theta) - 4\sin^3(\theta)

এখন সবগুলো পদ বামপাশে নিয়ে আসি:

4\sin^3(\theta) + 2\sin(\theta) - 3\sin(\theta) = 0

4\sin^3(\theta) - \sin(\theta) = 0

সমীকরণটি থেকে $\sin(\theta)$ কমন নিই:

\sin(\theta) [4\sin^2(\theta) - 1] = 0

এখান থেকে আমরা দুটি সম্ভাব্য সমাধান পাই:

১. $\sin(\theta) = 0 \implies \theta = 0^\circ$ (যেহেতু একটি ত্রিভুজের কোণ শূন্য হতে পারে না, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়)

২. $4\sin^2(\theta) - 1 = 0$

এখন দ্বিতীয় শর্তটি সমাধান করি:

4\sin^2(\theta) = 1

\sin^2(\theta) = \frac{1}{4}

\sin(\theta) = \pm \frac{1}{2}

যেহেতু $\theta$ একটি ত্রিভুজের ভেতরের কোণ এবং চিত্র অনুযায়ী এটি একটি সূক্ষ্মকোণ (acute angle), তাই এর মান ধনাত্মক হবে।

\sin(\theta) = \frac{1}{2}

আমরা জানি, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ ।

সুতরাং,$$\theta = 30^\circ$$

অতএব, $\theta$ এর নির্ণেয় মান হলো $30^\circ$।