The following figure shows a right circular cylinder metal rod which is expanding as it is heated. After t seconds the radius of the rod is x cm and the length of the rod is 5x cm. The cross-sectional area of the rod is increasing at the constant rate of 0.032 cm²s-¹. Find dx/dt when the radius of the rod is 2 cm.

দেওয়া আছে:

দণ্ডটির ব্যাসার্ধ (Radius) = $x\text{ cm}$
প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল (Cross-sectional area) বৃদ্ধির হার, $\frac{dA}{dt} = 0.032\text{ cm}^2\text{s}^{-1}$
আমাদের ব্যাসার্ধ বৃদ্ধির হার ( $\frac{dx}{dt}$ ) বের করতে হবে, যখন ব্যাসার্ধ $x = 2\text{ cm}$ হয়।

আমরা জানি, একটি বৃত্তাকার দণ্ডের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমান।

ক্ষেত্রফলের সূত্রানুযায়ী:

A = \pi r^2

যেহেতু এখানে ব্যাসার্ধ $r = x$ , তাই সমীকরণটি হবে:

A = \pi x^2

পরিবর্তনের হার বের করার জন্য সমীকরণটির উভয় পক্ষকে সময় ( $t$ )-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ বা ডিফারেন্সিয়েট করতে হবে:

\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi x^2)

চেইন রুল (Chain Rule) প্রয়োগ করে পাই:

\frac{dA}{dt} = \pi \cdot 2x \cdot \frac{dx}{dt}

\frac{dA}{dt} = 2\pi x \frac{dx}{dt}

এখন সমীকরণে আমাদের জানা মানগুলো (ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার $\frac{dA}{dt} = 0.032$ এবং ব্যাসার্ধ $x = 2$ ) বসিয়ে পাই:

0.032 = 2\pi(2) \cdot \frac{dx}{dt}

0.032 = 4\pi \cdot \frac{dx}{dt}

এখন $\frac{dx}{dt}$ এর মান বের করি:

\frac{dx}{dt} = \frac{0.032}{4\pi}

\frac{dx}{dt} = \frac{0.008}{\pi}

ক্যালকুলেটরে $\pi$ -এর মান ( $3.14159...$ ) বসিয়ে হিসাব করলে পাই:

\frac{dx}{dt} \approx 0.002546479...

দশমিকের পর ছয় ঘর পর্যন্ত হিসাব করলে কাঙ্ক্ষিত মান $0.002546$ পাওয়া যায়।