The isosceles right triangle has a side AC of length 5 cm and PQ shows the arc of a circle centered at A. Find the area of the shaded region given below.

১. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

• দেওয়া আছে, $ABC$ একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ (Isosceles right triangle), যার $\angle A = 90^\circ$।

• এর একটি বাহু $AC = 5$ সেমি। যেহেতু এটি সমদ্বিবাহু, তাই এর লম্ব এবং ভূমি সমান। অর্থাৎ, $AB = 5$ সেমি।

• সুতরাং, সম্পূর্ণ ত্রিভুজ $ABC$ এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$

  $$= \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5 \text{ বর্গ সেমি}$$

২. বৃত্তকলার (Sector) ব্যাসার্ধ নির্ণয়:

• চিত্রে দেখা যাচ্ছে, বৃত্তচাপ $PQ$ ত্রিভুজের অতিভুজ $BC$-কে স্পর্শ করেছে।

• যেহেতু বৃত্তচাপটি অতিভুজকে স্পর্শ করে, তাই $A$ বিন্দু (কেন্দ্র) থেকে অতিভুজ $BC$ এর উপর লম্ব দূরত্বই হবে এই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$)।

• পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী অতিভুজ $BC$ এর দৈর্ঘ্য:

  $$BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ সেমি}$$

• সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ($r$) = $\frac{\text{লম্ব} \times \text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}$

  $$r = \frac{5 \times 5}{5\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} \text{ সেমি}$$

৩. বৃত্তকলার (APQ) ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

• $APQ$ বৃত্তকলাটি কেন্দ্রে $90^\circ$ কোণ তৈরি করেছে (যেহেতু এটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি অংশ)।

• বৃত্তকলা $APQ$ এর ক্ষেত্রফল = $\frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2$

  $$= \frac{1}{4} \times \pi \times \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2$$
  $$= \frac{1}{4} \times \pi \times \frac{25}{2}$$
  $$= \frac{25\pi}{8} \text{ বর্গ সেমি}$$

• $\pi \approx 3.14159$ ধরে মান বসালে: $\frac{25 \times 3.14159}{8} \approx 9.8175 \text{ বর্গ সেমি}$।

৪. ছায়াযুক্ত অংশের (Shaded region) ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

• ছায়াযুক্ত অংশের ক্ষেত্রফল = সম্পূর্ণ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল - বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল

  $$= 12.5 - 9.8175$$
  $$= 2.6825 \text{ বর্গ সেমি}$$

এভাবেই গাণিতিক হিসাব করে উত্তরটি 2.6825 cm² পাওয়া যায়।