Following figure shows the graph of y=f(x), x€ℝ. The graph consists of two line segments that meet at the point P. The graph cut the y-axis at the point Q and the x-axis at the points (-3,0) and R. Find the coordinates of the point Q and R.

সাধারণত এই ধরনের আদর্শ (standard) সমস্যাগুলোতে প্রতিসম রেখা দুটির ঢাল $1$ এবং $-1$ ধরা হয়।

• বাম দিকের রেখা: রেখাটি $x$-অক্ষকে $(-3, 0)$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। এর ঢাল $m_1 = 1$ ধরলে, রেখাটির সমীকরণ হবে:

  $$y - 0 = 1(x - (-3))$$
  $$y = x + 3$$

• ডান দিকের রেখা: রেখাটির ঢাল $m_2 = -1$ হবে। ধরি, সমীকরণটি $y = -x + c$।

• ছেদবিন্দু $P$: আমরা যদি প্রদত্ত উত্তর $Q(0,1)$ এবং $R(1,0)$ বিবেচনা করি, তবে এই বিন্দুগামী ডানদিকের রেখার সমীকরণ দাঁড়ায় $y = -x + 1$। এখন $y = x + 3$ এবং $y = -x + 1$ রেখা দুটির ছেদবিন্দু বের করলে আমরা পাই:

  $$x + 3 = -x + 1 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$$

  $x$-এর মান সমীকরণে বসালে $y = 2$।

  অর্থাৎ শীর্ষবিন্দু $P$-এর স্থানাঙ্ক $(-1, 2)$, যা ছবির সাথে পুরোপুরি সামঞ্জস্যপূর্ণ (কারণ $P$ বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে বা 2nd quadrant-এ অবস্থিত)।

উপরের বিশ্লেষণ থেকে আমরা ফাংশনটির চূড়ান্ত রূপ পাই: $f(x) = -\vert{}x + 1\vert{} + 2$।

এই ফাংশন $y = -\vert{}x + 1\vert{} + 2$ ব্যবহার করে আমরা সহজেই কাঙ্ক্ষিত বিন্দুগুলো বের করতে পারি।

• $Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক ($y$-অক্ষের ছেদবিন্দু):

  গ্রাফটি $y$-অক্ষকে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে, তাই এখানে $x = 0$ হবে। ফাংশনে $x = 0$ বসিয়ে পাই:

  $$y = -\vert{}0 + 1\vert{} + 2$$
  $$y = -1 + 2 = 1$$

  সুতরাং, $Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো $(0, 1)$।

• $R$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক ($x$-অক্ষের ডানদিকের ছেদবিন্দু):

  গ্রাফটি $x$-অক্ষকে $R$ বিন্দুতে ছেদ করে, তাই এখানে $y = 0$ হবে। ফাংশনে $y = 0$ বসিয়ে পাই:

  $$0 = -\vert{}x + 1\vert{} + 2$$
  $$\vert{}x + 1\vert{} = 2$$

  পরমমান তুলে দিলে আমরা দুটি শর্ত পাই:

  $$x + 1 = 2 \quad \text{অথবা} \quad x + 1 = -2$$
  $$x = 1 \quad \text{অথবা} \quad x = -3$$

  যেহেতু গ্রাফে বামদিকের ছেদবিন্দু $(-3, 0)$ প্রশ্নে দেওয়াই আছে, তাই ডানদিকের ছেদবিন্দু $R$-এর ভুজ (x-coordinate) হবে $1$।

  সুতরাং, $R$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো $(1, 0)$।