Bangladesh will launch a geo-stationary satellite of mass 3500 kg at an orbital distance h from the earth surface as shown in the following figure with given condition. $ \mathrm{E}= $ Earth, $ \mathrm{S}= $ Geo-stationary satellite, time period $ =24 $ Hours. $ R=6.4 \times $ $ 10^{6} \mathrm{~m}, \mathrm{M}=6 \times 10^{24} \mathrm{~kg}, \mathrm{G}=6.7 \times $ $ 10^{-11} \mathrm{Nm}^{2} \mathrm{~kg}^{-1} $ . What will the height of the satellite to be launched?

প্রদত্ত উপাত্ত:

পৃথিবীর ভর, $M = 6 \times 10^{24} \text{ kg}$
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G = 6.7 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2\text{kg}^{-2}$
উপগ্রহের পর্যায়কাল, $T = 24 \text{ Hours} = 24 \times 3600 \text{ s} = 86400 \text{ s}$ (ভূ-স্থির উপগ্রহ পৃথিবীর সাথে একই বেগে ঘোরে, তাই এর পর্যায়কাল পৃথিবীর আহ্নিক গতির সমান অর্থাৎ ২৪ ঘণ্টা)
উপগ্রহের উচ্চতা, $h = ?$

প্রয়োজনীয় সূত্র:

আমরা জানি, কৃত্রিম উপগ্রহের আবর্তন কাল বা পর্যায়কালের সূত্র হলো:

T = 2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM}}

সূত্রটিকে বর্গ (square) করে পাই:

T^2 = \frac{4\pi^2(R+h)^3}{GM}

সমীকরণ সমাধান ও মান বসানো:

আমাদের $h$ এর মান বের করতে হবে। তাই সমীকরণটিকে সাজিয়ে $(R+h)^3$ এর মান আলাদা করি:

(R+h)^3 = \frac{GMT^2}{4\pi^2}

এখন প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে পাই:

(R+h)^3 = \frac{(6.7 \times 10^{-11}) \times (6 \times 10^{24}) \times (86400)^2}{4 \times \pi^2}

(R+h)^3 = \frac{(40.2 \times 10^{13}) \times 7464960000}{4 \times 9.8696}

(R+h)^3 = \frac{3.0009 \times 10^{24}}{39.478}

(R+h)^3 \approx 0.07601 \times 10^{24}

(R+h)^3 \approx 76.01 \times 10^{21}

উভয় পাশে ঘনমূল (cube root) করে পাই:

R+h = \sqrt[3]{76.01 \times 10^{21}}

R+h \approx 4.235 \times 10^7 \text{ m}

এখন $R$ -এর মান ( $6.4 \times 10^6 \text{ m}$ বা $0.64 \times 10^7 \text{ m}$ ) ডানদিকে নিয়ে বিয়োগ করি:

h = (4.235 \times 10^7) - (0.64 \times 10^7)

h = (4.235 - 0.64) \times 10^7

h = 3.595 \times 10^7 \text{ m}

যাকে আসন্ন মান (rounded value) হিসেবে লেখা যায়:

h \approx 3.60 \times 10^7 \text{ m}

সুতরাং, গাণিতিক হিসাব শেষে ভূ-স্থির উপগ্রহটির নির্ণেয় উচ্চতা পাওয়া যায় $3.60 \times 10^7 \text{ m}$।