Three masses are placed at the corners of an equilateral triangle as shown below. Find the center of mass of the system.

চিত্র অনুযায়ী, তিনটি ভর একটি সমবাহু ত্রিভুজের (Equilateral triangle) তিন কোণায় অবস্থিত, যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $3\text{ m}$ ।

প্রথম ভর ( $m_1 = 3\text{ kg}$ ): এটি মূলবিন্দুতে (Origin) বা X ও Y অক্ষের ছেদবিন্দুতে অবস্থিত। তাই এর স্থানাঙ্ক, $(x_1, y_1) = (0, 0)$ ।
দ্বিতীয় ভর ( $m_2 = 7\text{ kg}$ ): এটি মূলবিন্দু থেকে X-অক্ষ বরাবর ডানদিকে $3\text{ m}$ দূরত্বে অবস্থিত। তাই এর স্থানাঙ্ক, $(x_2, y_2) = (3, 0)$ ।
তৃতীয় ভর ( $m_3 = 4\text{ kg}$ ): এটি সমবাহু ত্রিভুজের তৃতীয় শীর্ষবিন্দুতে অবস্থিত। সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ $60^\circ$ হয়। ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে এর স্থানাঙ্ক বের করা যায়:
- ভুজ (X-অক্ষ বরাবর দূরত্ব), $x_3 = 3 \cos(60^\circ) = 3 \times 0.5 = 1.5\text{ m}$
- কোটি (Y-অক্ষ বরাবর দূরত্ব), $y_3 = 3 \sin(60^\circ) = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.5\sqrt{3}\text{ m}$
- সুতরাং এর স্থানাঙ্ক, $(x_3, y_3) = (1.5, 1.5\sqrt{3})$ ।

ভরকেন্দ্রের ভুজ বা X-অক্ষ বরাবর অবস্থান নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

X_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3}

সমীকরণে মানগুলো বসালে আমরা পাই:

X_{cm} = \frac{(3 \times 0) + (7 \times 3) + (4 \times 1.5)}{3 + 7 + 4}

X_{cm} = \frac{0 + 21 + 6}{14}

X_{cm} = \frac{27}{14}

X_{cm} \approx 1.92857\text{ m}

মানটিকে দশমিকের পর দুই ঘর পর্যন্ত আসন্ন করলে দাঁড়ায় $1.93\text{ m}$।

একইভাবে, ভরকেন্দ্রের কোটি বা Y-অক্ষ বরাবর অবস্থানের সূত্রটি হলো:

Y_{cm} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3}{m_1 + m_2 + m_3}

মানগুলো বসালে:

Y_{cm} = \frac{(3 \times 0) + (7 \times 0) + (4 \times 1.5\sqrt{3})}{14}

Y_{cm} = \frac{0 + 0 + 6\sqrt{3}}{14}

Y_{cm} = \frac{3\sqrt{3}}{7}

Y_{cm} \approx 0.74\text{ m}

সম্পূর্ণ গাণিতিক হিসাব থেকে দেখা যাচ্ছে, সিস্টেমটির ভরকেন্দ্রের প্রকৃত স্থানাঙ্ক হবে $(1.93\text{ m}, 0.74\text{ m})$ । 1.93 m যা মূলত ভরকেন্দ্রের X-অক্ষ বরাবর অবস্থান ( $X_{cm}$ )-কে নির্দেশ করছে।

Three masses are placed at the corners of an equilateral triangle as shown below. Find the center of mass of the system.

Solution

Practice More Questions on Our App!

Related Topics