For the circuit shown in the figure, the switch $ S $ is initially open, and the capacitor voltage is 70 V. The switch is then closed at time $ \mathrm{t}=0 \mathrm{~s} $ . Calculate the time required by the circuit for having a current of $ 5 \mu \mathrm{~A} $ .

প্রদত্ত তথ্য:

টাইম কনস্ট্যান্ট ( $\tau$ ) এবং আদি প্রবাহ ( $I_0$ ) নির্ণয়:

সার্কিটের টাইম কনস্ট্যান্ট (Time constant), $\tau = RC$

$\tau = (2 \times 10^6 \ \Omega) \times (15 \times 10^{-6} \text{ F}) = 30 \text{ s}$
সুইচ বন্ধ করার ঠিক মুহূর্তে ( $t = 0$ ) আদি তড়িৎ প্রবাহ, $I_0 = \frac{V_0}{R}$

$I_0 = \frac{70}{2 \times 10^6} \text{ A} = 35 \times 10^{-6} \text{ A} = 35 \mu\text{A}$

ডিসচার্জিং সমীকরণ প্রয়োগ:

ক্যাপাসিটর ডিসচার্জ হওয়ার সময় তড়িৎ প্রবাহের সূত্রটি হলো:

i(t) = I_0 e^{-\frac{t}{\tau}}

সমীকরণে মানগুলো বসিয়ে পাই:

5 \times 10^{-6} = 35 \times 10^{-6} \times e^{-\frac{t}{30}}

উভয় পাশ থেকে $10^{-6}$ বাদ দিয়ে সমীকরণটি সরল করলে:

5 = 35 e^{-\frac{t}{30}}

e^{-\frac{t}{30}} = \frac{5}{35}

e^{-\frac{t}{30}} = \frac{1}{7}

সমীকরণটিকে উল্টে দিলে বা সূচকের নিয়ম অনুযায়ী:

e^{\frac{t}{30}} = 7

উভয় পাশে স্বাভাবিক লগারিদম ( $\ln$ ) নিলে আমরা পাই:

\frac{t}{30} = \ln(7)

t = 30 \times \ln(7)

ক্যালকুলেটরের সাহায্যে আমরা জানি, $\ln(7) \approx 1.9459$ :

t \approx 30 \times 1.9459

t \approx 58.377 \text{ s}

দশমিকের পর এক ঘর পর্যন্ত আসন্ন মান নিলে উত্তরটি দাঁড়ায় $58.4 \text{ s}$।

সুতরাং, গাণিতিক হিসাব অনুযায়ী সার্কিটটিতে তড়িৎ প্রবাহ $5\mu\text{A}$ -এ নেমে আসতে 58.4 s (সেকেন্ড) সময় লাগবে।

For the circuit shown in the figure, the switch \( S \) is initially open, and the capacitor voltage is 70 V. The switch is then closed at time \( \mathrm{t}=0 \mathrm{~s} \) . Calculate the time required by the circuit for having a current of \( 5 \mu \mathrm{~A} \) .