Find out the expression of \( y \) for the following logic circuit.

লজিক গেট এবং ইনপুট শনাক্তকরণ:

• চিত্রে মোট তিনটি গেট রয়েছে এবং এগুলো সবগুলোই XNOR গেট (Exclusive-NOR gate)।

• লক্ষ্য করলে দেখা যাবে, প্রথম স্তরের ওপরের গেটটিতে মূল ইনপুট $A$ দুই ভাগে বিভক্ত হয়ে গেটের দুটি ইনপুট পিনেই প্রবেশ করেছে। অর্থাৎ, এই গেটটির দুটি ইনপুটই হলো $A$।

• একইভাবে, নিচের গেটটিতেও ইনপুট $B$ বিভক্ত হয়ে দুটি ইনপুট পিনেই প্রবেশ করেছে। অর্থাৎ, এই গেটটির দুটি ইনপুটই হলো $B$।

প্রথম স্তরের (First stage) গেটগুলোর আউটপুট নির্ণয়:

• ওপরের গেটের ক্ষেত্রে: XNOR গেটের বুলিয়ান সমীকরণ অনুযায়ী, দুটি একই ইনপুট $A$ দেওয়া হলে আউটপুট হবে:

  $$A \odot A = A \cdot A + \overline{A} \cdot \overline{A}$$

  আমরা জানি, $A \cdot A = A$ এবং $\overline{A} \cdot \overline{A} = \overline{A}$।

  $$= A + \overline{A}$$

  বুলিয়ান অ্যালজেব্রার মৌলিক নিয়ম অনুযায়ী $A + \overline{A} = 1$।

  সুতরাং, ওপরের গেটের আউটপুট $= 1$।

• নিচের গেটের ক্ষেত্রে: একইভাবে, দুটি একই ইনপুট $B$ দেওয়া হলে আউটপুট হবে:

  $$B \odot B = B \cdot B + \overline{B} \cdot \overline{B}$$
  $$= B + \overline{B}$$
  $$= 1$$

  সুতরাং, নিচের গেটের আউটপুট $= 1$।

চূড়ান্ত আউটপুট (Y) নির্ণয়:

• দ্বিতীয় স্তরের বা চূড়ান্ত XNOR গেটটির ইনপুটগুলো হলো প্রথম স্তরের গেটগুলোর আউটপুট। অর্থাৎ, এই গেটের দুটি ইনপুটই হলো $1$ এবং $1$।

• এখন এই ইনপুটগুলো চূড়ান্ত XNOR সমীকরণে বসালে আউটপুট $Y$ পাওয়া যাবে:

  $$Y = 1 \odot 1$$
  $$Y = 1 \cdot 1 + \overline{1} \cdot \overline{1}$$
  $$Y = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0$$
  $$Y = 1 + 0$$
  $$Y = 1$$

লজিক্যাল বিশ্লেষণ শেষে দেখা যাচ্ছে, সার্কিটটির চূড়ান্ত আউটপুট $Y$-এর মান সর্বদা লজিক $1$ (বা High) হবে; এটি ইনপুট $A$ বা $B$-এর মানের ওপর একেবারেই নির্ভর করে না। যেহেতু চূড়ান্ত ফলাফল একটি ধ্রুবক মান ($1$), যা সাধারণত অপশনে দেওয়া থাকে না, তাই যৌক্তিকভাবে সঠিক উত্তর হিসেবে "None" (কোনোটিই নয়) নির্বাচন করা হয়েছে।