A hyperbolic mirror is used in some telescopes. Such a mirror has the property that light ray directed at one focus will be reflected to th eother focus as shown in the figure will below. Which of the following equations models the hyperbolic mirror's surface ?

প্রশ্নেই বলা আছে, হাইপারবোলিক আয়নার একটি ফোকাসের দিকে আসা আলোকরশ্মি প্রতিফলিত হয়ে অন্য ফোকাস দিয়ে যায়। চিত্রে লক্ষ্য করলে দেখবেন, প্রতিফলিত রশ্মিটি সোজা মূলবিন্দু (Origin) অর্থাৎ $(0,0)$ তে এসে মিলছে। এর মানে হলো, এই হাইপারবোলাটির একটি ফোকাস অবশ্যই $(0,0)$ বিন্দুতে অবস্থিত।

চিত্রে হাইপারবোলার শীর্ষবিন্দু (Vertex) দেওয়া আছে $(15, 0)$।

এখন, একটি ফোকাস যদি $(0,0)$ হয় এবং শীর্ষবিন্দু $(15,0)$ হয়, তবে হাইপারবোলাটির কেন্দ্র (Center) কখনোই মূলবিন্দুতে $(0,0)$ হতে পারে না। এর কেন্দ্রটি x-অক্ষ বরাবর ডানদিকে সরে থাকবে। ফলে এর সমীকরণটি হবে $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ আকারের। কিন্তু সাধারণ বহুনির্বাচনী প্রশ্নে (MCQ) অপশনগুলোতে সাধারণত কেন্দ্রকে মূলবিন্দু ধরে সমীকরণ ($\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$) দেওয়া থাকে, যা এই চিত্রের সাথে সাংঘর্ষিক।

যদি আমরা তর্কের খাতিরে ধরেও নিই যে কেন্দ্র $(0,0)$-তেই অবস্থিত (যা চিত্রের ফোকাসের শর্ত ভাঙে), তবে শীর্ষবিন্দু অনুযায়ী $a = 15$ হবে।

তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়: $\frac{x^2}{15^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ বা $\frac{x^2}{225} - \frac{y^2}{b^2} = 1$।

এখন চিত্রে দেওয়া বক্ররেখার ওপর অবস্থিত বিন্দু $(20, 20)$ এই সমীকরণে বসিয়ে দেখি:

এখানে $b^2$-এর মান একটি ভগ্নাংশ বা অদ্ভুত দশমিক সংখ্যা আসছে, যা দিয়ে তৈরি সমীকরণ ($\frac{x^2}{225} - \frac{7y^2}{3600} = 1$) সাধারণত পরীক্ষার অপশনগুলোতে থাকে না।

যেহেতু চিত্রের শর্ত অনুযায়ী (ফোকাস মূলবিন্দুতে) তৈরি সমীকরণটি সাধারণ কোনো অপশনের সাথে মেলার কথা নয় এবং কেন্দ্র মূলবিন্দু ধরলেও বিন্দুগুলো দিয়ে কোনো সুন্দর সমীকরণ তৈরি হয় না, তাই প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে সঠিক উত্তর নেই। এ কারণেই সঠিক উত্তর হিসেবে "None" দেওয়া হয়েছে।