A water tank has the shape of an upside-down cone with radius $ 2\text{m} $ and height $ 5\text{m} $ . The water is running out of the tank through a small hole at the bottom at a speed proportional to the square root of the depth of the water in the tank. Suppose that the water is running out at a rate of $ 3 \text{ m}^3/\text{min} $ when the depth of the water in the tank is $ 4\text{m} $ . Find the rate at which the water level is changing at this moment.

প্রদত্ত সমস্যাটির সমাধান এবং এর সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা নিচে দেওয়া হলো:

ট্যাংকের ব্যাসার্ধ, $R = 2\text{ m}$ এবং উচ্চতা, $H = 5\text{ m}$
কোনো এক মুহূর্তে পানির গভীরতা বা উচ্চতা $= h$ এবং সেই মুহূর্তে পানির উপরিভাগের ব্যাসার্ধ $= r$
সদৃশ ত্রিভুজের সূত্র অনুযায়ী ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার সম্পর্ক:

$\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{2}{5} \implies r = \frac{2}{5}h$

কোন্ বা শঙ্কুর আয়তনের সূত্র $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ এ $r$ -এর মান বসিয়ে পাই:

V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{2}{5}h\right)^2 h

V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{4}{25}h^2\right) h = \frac{4\pi}{75}h^3

সময় $t$ -এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষে অন্তরীকরণ (Differentiation) করে পাই:

\frac{dV}{dt} = \frac{4\pi}{75} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{4\pi}{25}h^2 \frac{dh}{dt} \quad \text{--- (সমীকরণ ১)}

সমস্যা অনুযায়ী, পানির বের হওয়ার হার ট্যাংকের পানির গভীরতার বর্গমূলের সমানুপাতিক:

\frac{dV}{dt} = -k\sqrt{h}

(এখানে ঋণাত্মক চিহ্ন দ্বারা পানির পরিমাণ হ্রাস পাওয়া বোঝায়)

দেওয়া আছে, যখন গভীরতা $h = 4\text{ m}$ , তখন নির্গমনের হার $\frac{dV}{dt} = -3\text{ m}^3/\text{min}$ ।

মানগুলো বসিয়ে ধ্রুবক $k$ -এর মান বের করি:

-3 = -k\sqrt{4} \implies -3 = -2k \implies k = \frac{3}{2}

অতএব, যেকোনো মুহূর্তে নির্গমনের হার:

\frac{dV}{dt} = -\frac{3}{2}\sqrt{h}

যখন পানির গভীরতা $h = 4\text{ m}$ , তখন মানগুলো সমীকরণ ১-এ বসাই:

-\frac{3}{2}\sqrt{4} = \frac{4\pi}{25}(4)^2 \frac{dh}{dt}

-\frac{3}{2}(2) = \frac{4\pi}{25}(16) \frac{dh}{dt}

-3 = \frac{64\pi}{25} \frac{dh}{dt}

এখান থেকে $\frac{dh}{dt}$ -এর মান পাই:

\frac{dh}{dt} = -\frac{3 \times 25}{64\pi} = -\frac{75}{64\pi}\text{ m/min}

(এখানে ঋণাত্মক চিহ্ন দ্বারা পানির উচ্চতা হ্রাসের হার নির্দেশ করে)।

পানির স্তর পরিবর্তনের হার হলো $\frac{75}{64\pi}\text{ m/min}$।