In a geometric progression with positive terms, the sum of the second and third terms is 6, and the sum of the fourth and fifth terms is 54. What is the common ratio?
সমাধান
সঠিক উত্তর: Option C
ধরি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ = $a$ এবং সাধারণ অনুপাত = $r$
যেহেতু ধারার পদগুলো ধনাত্মক, তাই $r > 0$ হবে।
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = $ar^{n-1}$
শর্তমতে,
২য় পদ + ৩য় পদ = 6
$\Rightarrow ar + ar^2 = 6$
$\Rightarrow ar(1 + r) = 6$ ....... (সমীকরণ ১)
আবার,
৪র্থ পদ + ৫ম পদ = 54
$\Rightarrow ar^3 + ar^4 = 54$
$\Rightarrow ar^3(1 + r) = 54$ ....... (সমীকরণ ২)
এখন, (সমীকরণ ২) কে (সমীকরণ ১) দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\frac{ar^3(1 + r)}{ar(1 + r)} = \frac{54}{6}$
$\Rightarrow r^2 = 9$
$\Rightarrow r = \sqrt{9}$
$\Rightarrow r = 3$ (যেহেতু ধারাটির পদগুলো ধনাত্মক, তাই অনুপাত ঋণাত্মক হতে পারবে না)
সুতরাং, নির্ণেয় সাধারণ অনুপাত হলো 3।
যেহেতু ধারার পদগুলো ধনাত্মক, তাই $r > 0$ হবে।
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = $ar^{n-1}$
শর্তমতে,
২য় পদ + ৩য় পদ = 6
$\Rightarrow ar + ar^2 = 6$
$\Rightarrow ar(1 + r) = 6$ ....... (সমীকরণ ১)
আবার,
৪র্থ পদ + ৫ম পদ = 54
$\Rightarrow ar^3 + ar^4 = 54$
$\Rightarrow ar^3(1 + r) = 54$ ....... (সমীকরণ ২)
এখন, (সমীকরণ ২) কে (সমীকরণ ১) দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\frac{ar^3(1 + r)}{ar(1 + r)} = \frac{54}{6}$
$\Rightarrow r^2 = 9$
$\Rightarrow r = \sqrt{9}$
$\Rightarrow r = 3$ (যেহেতু ধারাটির পদগুলো ধনাত্মক, তাই অনুপাত ঋণাত্মক হতে পারবে না)
সুতরাং, নির্ণেয় সাধারণ অনুপাত হলো 3।
