How many points are both 4 units from the origin and also 2 units from the line y = 4?
Solution
Correct Answer: Option B
এখানে দুইটি শর্ত দেওয়া আছে:
১ম শর্ত: মূলবিন্দু (Origin) অর্থাৎ (0,0) থেকে বিন্দুর দূরত্ব 4 একক।
আমরা জানি, মূলবিন্দু থেকে r দূরত্বের বিন্দুগুলো একটি বৃত্ত তৈরি করে যার সমীকরণ: x2 + y2 = r2
সুতরাং, x2 + y2 = 42 বা x2 + y2 = 16 (এটি একটি বৃত্ত)।
২য় শর্ত: রেখা y = 4 থেকে বিন্দুর দূরত্ব 2 একক।
y = 4 রেখাটি x-অক্ষের সমান্তরাল। এই রেখা থেকে 2 একক দূরত্বের সমান্তরাল রেখা দুটি হতে পারে:
y = 4 + 2 = 6
এবং y = 4 - 2 = 2
এখন আমাদের দেখতে হবে এই রেখাগুলো (y = 6 এবং y = 2) বৃত্তটিকে (x2 + y2 = 16) কতবার ছেদ করে।
১. যদি y = 6 হয়, তবে x2 + 62 = 16 বা x2 = 16 - 36 = -20। এটি অসম্ভব, কারণ বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই y = 6 রেখায় সমাধান নেই।
২. যদি y = 2 হয়, তবে x2 + 22 = 16 বা x2 = 16 - 4 = 12 বা x = ±√12। এখানে x এর দুইটি বাস্তব মান পাওয়া যাচ্ছে।
সুতরাং, মোট 2টি বিন্দু পাওয়া যাবে।
সহজ ব্যাখ্যা (চিত্রের মাধ্যমে কল্পনা):
মূলবিন্দুকে কেন্দ্র করে 4 ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত আঁকলে তার সর্বোচ্চ উচ্চতা বা y-মান 4 (যেহেতু ব্যাসার্ধ 4)।
y = 4 রেখাটি এই বৃত্তকে ঠিক উপরের বিন্দুতে স্পর্শ করে (0, 4)।
প্রশ্নানুসারে, বিন্দুটি y = 4 রেখা থেকে 2 একক দূরে হতে হবে। যেহেতু বৃত্তের সব বিন্দুর y-মান 4 বা তার কম (এবং -4 বা তার বেশি), তাই y = 6 রেখাটি বৃত্তের বাইরে। কিন্তু y = 2 রেখাটি বৃত্তের ভেতর দিয়ে যাবে এবং বৃত্তকে দুইটি ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করবে। তাই উত্তর 2।
১ম শর্ত: মূলবিন্দু (Origin) অর্থাৎ (0,0) থেকে বিন্দুর দূরত্ব 4 একক।
আমরা জানি, মূলবিন্দু থেকে r দূরত্বের বিন্দুগুলো একটি বৃত্ত তৈরি করে যার সমীকরণ: x2 + y2 = r2
সুতরাং, x2 + y2 = 42 বা x2 + y2 = 16 (এটি একটি বৃত্ত)।
২য় শর্ত: রেখা y = 4 থেকে বিন্দুর দূরত্ব 2 একক।
y = 4 রেখাটি x-অক্ষের সমান্তরাল। এই রেখা থেকে 2 একক দূরত্বের সমান্তরাল রেখা দুটি হতে পারে:
y = 4 + 2 = 6
এবং y = 4 - 2 = 2
এখন আমাদের দেখতে হবে এই রেখাগুলো (y = 6 এবং y = 2) বৃত্তটিকে (x2 + y2 = 16) কতবার ছেদ করে।
১. যদি y = 6 হয়, তবে x2 + 62 = 16 বা x2 = 16 - 36 = -20। এটি অসম্ভব, কারণ বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই y = 6 রেখায় সমাধান নেই।
২. যদি y = 2 হয়, তবে x2 + 22 = 16 বা x2 = 16 - 4 = 12 বা x = ±√12। এখানে x এর দুইটি বাস্তব মান পাওয়া যাচ্ছে।
সুতরাং, মোট 2টি বিন্দু পাওয়া যাবে।
সহজ ব্যাখ্যা (চিত্রের মাধ্যমে কল্পনা):
মূলবিন্দুকে কেন্দ্র করে 4 ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত আঁকলে তার সর্বোচ্চ উচ্চতা বা y-মান 4 (যেহেতু ব্যাসার্ধ 4)।
y = 4 রেখাটি এই বৃত্তকে ঠিক উপরের বিন্দুতে স্পর্শ করে (0, 4)।
প্রশ্নানুসারে, বিন্দুটি y = 4 রেখা থেকে 2 একক দূরে হতে হবে। যেহেতু বৃত্তের সব বিন্দুর y-মান 4 বা তার কম (এবং -4 বা তার বেশি), তাই y = 6 রেখাটি বৃত্তের বাইরে। কিন্তু y = 2 রেখাটি বৃত্তের ভেতর দিয়ে যাবে এবং বৃত্তকে দুইটি ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করবে। তাই উত্তর 2।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ৭৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-৫৪
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions