দুটি ভেক্টর A=3i-3j এবং B=5i+k এর মধ্যবর্তী কোণ কত?
Solution
Correct Answer: Option A
যেকোনো দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করার জন্য আমরা তাদের ডট গুণফল (Dot Product) ব্যবহার করি।
(বিঃদ্রঃ: সঠিক উত্তর 60º পেতে হলে দ্বিতীয় ভেক্টরটি B = 5i + 5k হবে। প্রশ্নে টাইপিং মিস্টেক থাকতে পারে, তাই আমরা এটি ধরেই সমাধান করছি।)
ধাপ ১: ভেক্টরগুলোর মান নির্ণয়
দেওয়া আছে,
• A = 3i - 3j
এর মান, |A| = √(3² + (-3)²) = √(9 + 9) = √18
• B = 5i + 5k
এর মান, |B| = √(5² + 5²) = √(25 + 25) = √50
ধাপ ২: ডট গুণফল নির্ণয়
A · B = (3 × 5) + (-3 × 0) + (0 × 5) = 15
ধাপ ৩: মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়
আমরা জানি, A · B = |A| |B| cosθ
বা, cosθ = (A · B) / (|A| |B|)
বা, cosθ = 15 / (√18 × √50)
বা, cosθ = 15 / √(18 × 50)
বা, cosθ = 15 / √900
বা, cosθ = 15 / 30 = 1/2
যেহেতু cos(60º) = 1/2, তাই θ = 60º।
সুতরাং, ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ 60º।
(বিঃদ্রঃ: সঠিক উত্তর 60º পেতে হলে দ্বিতীয় ভেক্টরটি B = 5i + 5k হবে। প্রশ্নে টাইপিং মিস্টেক থাকতে পারে, তাই আমরা এটি ধরেই সমাধান করছি।)
ধাপ ১: ভেক্টরগুলোর মান নির্ণয়
দেওয়া আছে,
• A = 3i - 3j
এর মান, |A| = √(3² + (-3)²) = √(9 + 9) = √18
• B = 5i + 5k
এর মান, |B| = √(5² + 5²) = √(25 + 25) = √50
ধাপ ২: ডট গুণফল নির্ণয়
A · B = (3 × 5) + (-3 × 0) + (0 × 5) = 15
ধাপ ৩: মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়
আমরা জানি, A · B = |A| |B| cosθ
বা, cosθ = (A · B) / (|A| |B|)
বা, cosθ = 15 / (√18 × √50)
বা, cosθ = 15 / √(18 × 50)
বা, cosθ = 15 / √900
বা, cosθ = 15 / 30 = 1/2
যেহেতু cos(60º) = 1/2, তাই θ = 60º।
সুতরাং, ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ 60º।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা-১৫০
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
সাধারণ বিজ্ঞান
শব্দ ও তরঙ্গঃ শব্দের তীক্ষ্ণতা, শব্দ সঞ্চারণ, শব্দের দ্রুতি, প্রতিধ্বনি, শ্রাব্যতার পাল্লা, ডপলার ক্রিয়া, তাপ ও তাপগতিবিদ্যা।
আলোঃ আলোর প্রকৃতি, আলোর কোয়ান্টাম তত্ত্ব, তাড়িত চৌম্বক বর্ণালী, দৃশ্যমান আলো, লেজার (LASER), আলোর প্রতিফলন, দর্পণ, বিম্ব, আলোর প্রতিসরণ, পূর্ণ অভ্যন্তরীণ প্রতিফলন, লেন্স, প্রিজম, আলোর বিচ্ছুরণ, রঙধনু বা রামধনু, আলোর বিক্ষেপণ, মৌলিক বর্ণ, পরিপূরক বর্ণ, আলোর শোষণ, প্রতিফলন ও বস্তুর বর্ণ, মানুষের চোখ ক্যামেরা, দৃষ্টি সহায়ক যন্ত্র।
শব্দ ও তরঙ্গঃ শব্দের তীক্ষ্ণতা, শব্দ সঞ্চারণ, শব্দের দ্রুতি, প্রতিধ্বনি, শ্রাব্যতার পাল্লা, ডপলার ক্রিয়া, তাপ ও তাপগতিবিদ্যা।
আলোঃ আলোর প্রকৃতি, আলোর কোয়ান্টাম তত্ত্ব, তাড়িত চৌম্বক বর্ণালী, দৃশ্যমান আলো, লেজার (LASER), আলোর প্রতিফলন, দর্পণ, বিম্ব, আলোর প্রতিসরণ, পূর্ণ অভ্যন্তরীণ প্রতিফলন, লেন্স, প্রিজম, আলোর বিচ্ছুরণ, রঙধনু বা রামধনু, আলোর বিক্ষেপণ, মৌলিক বর্ণ, পরিপূরক বর্ণ, আলোর শোষণ, প্রতিফলন ও বস্তুর বর্ণ, মানুষের চোখ ক্যামেরা, দৃষ্টি সহায়ক যন্ত্র।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ১৪
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন প্রস্তুতি - সমাজবিজ্ঞান
টপিকসঃ
নগর উন্নয়ন ও সম্প্রদায়:
গ্রাম ও শহরের জীবনযাত্রার তুলনা, নগরায়ণের উৎপত্তি ও বিকাশ, শিল্পবিপ্লব পরবর্তী নগর জীবন, মহানগরীয় সমস্যা ও নগর সংকট।
গ্রাম ও শহরের জীবনযাত্রার তুলনা, নগরায়ণের উৎপত্তি ও বিকাশ, শিল্পবিপ্লব পরবর্তী নগর জীবন, মহানগরীয় সমস্যা ও নগর সংকট।
পরীক্ষা শুরুঃ ২৬ জুলাই, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা ৬
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
রিভিশন টেস্ট:
বিগত পরীক্ষা - ১, ২, ৩, ৪ ও ৫ এর উপর রিভিশন পরীক্ষা
বিগত পরীক্ষা - ১, ২, ৩, ৪ ও ৫ এর উপর রিভিশন পরীক্ষা
(৬ষ্ঠ ব্যাচ) পরীক্ষা শুরুঃ ১০ সেপ্টেম্বর, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions